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T 1章2節 空間のベクトル #XP27 平 例1 原点の座標は(0,0,0)である。)55 軸、Y軸、Z軸上にある点の 座標は、それぞれ(a,00), (0,b.o), No. Date D b: →y PAPIO (0,0,0)の形で表される 1 空間内の点P(x,y,z)を入軸方向にの、軸方向にb. Z軸方向にC平行移動した点をQとするとき、Qの座標を 求めよ Q(xta,y+b,Z+c) 52 直方体 OABC-DEFGにおいて Z E2 OCO,0,0), A(1,0,0) E G C(0,3,0), D(0,0,2) のとき、点B,E,F,Gの F 座標を求めよ AI B(1,3,0), E(1.0,2) M F(1,3.2), G(0,3,2) 教P28 問2点P(a,b,c)から名座標平面上に垂線をひき、x面 4平面Zx平面との交点をそれぞれQRISとするとき 201 z 点Q,R,Sの座標を求めよ.. Q(a,b,O) R(D, b, c) Sta.0,c) S a b
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D T Date 月 T P1053点P (3,1.2) から各座標平面に垂線を引き、えま平面、平面 Z大平面との交点をそれぞれQ,R,Sとするとき、点Q,R, Sの座標を求めよ. (0.00) (0) 2 R Q(3,1,0) R(DL 2) S(3,0.2) ゆ 3 0 q 教P28 2点間の距離 2点P(yZ), Q(x2,y2,Z2)の間の距離は (ューズ+(yューな)+(Z2-Z - 特に原点OC0.0.0)と点P()y,z)の距離は x² + y² + Z² 0.0.1.0.0.0.0 教28 問3点(3,-2,1)と点(-2,1,-5)の間の距離を求めよ √(-2-3)² + ( 1 + 2)² + (-5-1)² 25+9+36. 170 √70 () P10 54点(1,-2,3)と点(2,1,-1)の間の距離を求めよ (2-1)^2+(1+2)2+(-1-3) = √1 + 9 + 16 = √26 126
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Date P284点(2,1,-4)と点(3,y,-2)の間の距離が3であるとき。 yの値を求めよ. (3-2)+(-1)+(-2+4)=32 • 089 1+(y-1)+4=9 = 1-1 = 12 y=3,-1 問10 55.点(2,-5,-3)と点(0,-1,z)の間の距離が6であるとき Zの値を求めよ (0-2)^2+(-1+5)+(Z+3)=62 4+16 + (Z+3)=36 教129例2 (Z+3)=16. Z+3=14 Z=-3±4 Z:1,-7 i = (1,0,0), F = (0.1.0). R= (0.0.1) また、A(2,1,-3)のとき、OA=26+j-3h (2,1,-3) ベクトルの成分による計算 a=(ayazyas)、B=(bybz,ba)のとき (I)=6ai=bi,az=bz,az=b3 (I) (a) = √a² + az +93 1) = J (1.A. (Ⅱ) 基本ベクトル (1)土曜=ca,b,az±b2,astbs)(同順) (TV) mat = (mamaz,mas) (mは実数) or
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Date 教P30 Q=(3.5-2)=(-1,2,3)のとき、20-36の 例題1 成分表示と大きさを求めよ. -za-35-2 (3,5,-2)-3(-1,2,-3). =(6,10,-4)+(3,6,9) =(9,4,5) 120-36192+4+5 =√22 8! 21122 16. 60 25 122 = 問5 (1,2,-1,B=(3.1,-2)のとき、次のベクトルの成分表示を ad 500円 大きさを求めよ (1) a + b' +=(1,2,-1)+(3,1,-2) =(4,3-3) 10+61 = √√√4²-13²+(-3)² =134 3.4 (2) 30-25.0.0) 0.1.0) = 0.0 S 30-26=3(1,2,-1)-2(3,1,-2) A 270 Cε = (-3, 4, -1) 130-261-(-3)+4²+(-17 =126 P1056 d=(-1.4,1)、6=(1,-3.0)のとき、次のベクトルの成分表示 と大きさを求めよ. (1) a-b a-5 = (-1,4,1) - (1.-3,0) =(-2, 7, 1)
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56 0 10-51 = (-2)²+7 +1² 108 3227 54年10年 の3 - 3√6 (2) 2g+36 20+36=2(-1,4,1)+3(1,-3,0) =(1,-1,2) 12a² +35²) = √1²+(-1)² +2² =√6 Date 間1274 = (2,3,-2)、B=13,5,-1)のとき、30万の成分表示と 大きさを求めよ. 30-5=3(2,3,-2)-(3,5,-1) =(3,4,-5) 130-51=√√3² +4² + (-5)² 9+16 +25 =150 5 教P30 J & S (1 = CS) AN 12 015 例題2 空間内に2点A(xingi,Z)、B(大2,y2,zュ)があるとき ベクトルの成分表示とその大きさを求めよ A OA+AB=0Bだから AB = OB-OA' = (x2,y2, Z2)-(X, Y, Z₁) =2-21, Y2 - Y1, Z₂-Z₁) |AB|= √(2-7)² + (y 2 -9₁)² + (Z₂-Z₁)²
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131 64A (4.3.1), B(7,-3,3), C (-3,-2,07, D(-6.4.-2) があるとき、ABCDの成分表示を求めよ。また、四角形ABCD はどのような四角形か =(7-4,-3-33-1) AB=0B-DA =(3,-6,2). CD=OD-00 B 0 2 SL PAPIO 57 PIO 56 =(6,4,-2)-(-3,-2,0) =(-3,6,-2> AB-13+1-63+221CD=√9-332+6+4 7 ABCB より ABICO ABICDIABICD1より = 7 1組の対辺が平行で長さが等しいので 四角形ABCDは平行四辺形である。 4点A(5,-1,D,B(2,3,-4), CC-2,0.37. D(1, 4,8)があるとき、ABCDの成分表示を求めよ。 室 また、四角形ABCDはどのような四角形が AB=OB-DA =(2,3,-4)-(5,-1,1) =(-3,4-57 CD = OD-OC =(1,4,8)-(-2,0,3) =(3,4,5) 1ABに10B1=√9+16+25:512 AB=-CB より ABII CD. 2150 26 一組の対辺が平行で長さが等しいので四角形ABCDは平行四辺形 089
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P1275 4点A(1,1,-1), BC-1,2,1)C(2,1,0),D(x,y,z)が あるとき、ABの成分表示を求めよ。また、四角形ABCDが平行四 辺形となるように、その値を定めよ。 AB=OB-OA 2:10 A = (-1,2,1) = (1,1,-1). - B = (-2, 1, 2) AB=DCのとき、平行四辺形となるので DC = (2-x, 1-y, z) = (-2,1,2) 2-x=-21-g=1 大=4 -Z:2 of = 0. R = -2 AB=(-2,1,2) x4,y=0,Z-2 P31 例3 2点A(1,4,-3)とB(6,-1.7)を結ぶ線分を3:2の比に内分 する点の座標は(2.1+3.6, 2.4 +3.(1) ・(-3)+3.7) 3+2 すなわち (4,1,3) 3+2 問7 2点A(2,14)とB(5, 2.1)を結ぶ線分を次の比に内分する 点の座標を求めよ. (1) 2:1 (急 (1/13) 82 0191 10A+20B 2+1 (2,1,4)+2(5,-2,17 3 JANSN = (4,1,2) ADAP (4,-1,2)AA8 (2)2:3 30A+203(2,14)+2(5,2,1) 2+3 16 ち (第一号告) 10 11 12 13 14 T
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P1058 2点A(2.7 -1)とB(4,1,5)を結ぶ線分を次の比に 内分する点の座標を求めよ。代に付 (1) 1:2 20A+OB 20,7,1)+(-4,1,5) (0,15,3) 2 S = 1+2 3 (0,5,1) (2)3:2 20A+308202,7,-1)+3(-4,1,5) 3+2 5 13 (一号・号) -8,17,183 5 P1276 A(L,-2, 4), B(2.6.-3)を結ぶ線分を次の比に内分する 点の座標を求めよ. (1) 3:13(12)83CF-ADA E 16 DA+30B (1,-2,4)+3(2,6,-3)+ 31. +6 4 (¥4,一年) 5+8 (2)2:57) (SAES 50A+20B5(1,-2,4)+2(26,3) (9,2,14) 2+5 7 =( (赤・赤2) 教P3L 問8 四面体 ABCDにおいて、 点 A, B, CDの位置ベクトルをそれぞれむら [で]とおくとき、次の問いに答えよ。 (1)△ABCの重心Gの位置ベクトルを求めよ a² + √√² + c A. b B
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(2) 線分DGを3:1の比に内分する点Pの位置ベクトルを求めよ. OP²= OD +3OG 3+1 +3 a+b+c 4 士協できず No. Date 4 P1059 四面体ABCDにおいて、点A,B,C,Dの位置ベクトルをそれぞれむ古.. すとおくとき、次の問いに答えよ。 (1) ABCDの重心Gの位置ベクトルを求めよ OG = b+c+d² 3 B G (2) 線分AGを3:1に内分する点Pの位置ベクトルを求めよ.. OP= OA+30G 3t1 a+b+c+d 4 P277 直方体ABCDEFGHにおいて、AB=B,AB=d,AE= とおくとき、次の問いに答えよ。 E (1)BAをおで表せ FX Tal H F12 BH = AH - AB AD +DA-AB - AD + AE - AB² = √² + ē² = b² == b² + J² + ĕ² B T-0 5. - B Psy
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Date (2) 線分BHを12の比に内分する点をPとするとき、Aを色で 表せ AR=AE+ER =AE+AD =ĕ +ď AP = 2AB +AH 1+2 26++ 教P32 例4 基本ベクトルにもう18 →J i • j = j k k · T² = 0 「内積の性質と成分による計算 ·(1) ā·ā = 121² (D) a⋅ b = b²·ā (Ⅲ)(ma)6=a(mb)=mlb) (mは実数) (IV) · ( ¯ ± C') = α · b±α· C . (号同順) (D) σ ‡ σ, b = Ỡ albā⋅ b = 0 AN (VI)=(a,az,as), '=(bu,ba, b)のとき ab=a.bitazbz+a3b3.お願 4k lay² = a. a = a.₁ ² + A₂² + 9 =² 教P329 次の2つのベクトルの内積を求めよ。 (1)(2,1,3)=(3,1,-2) 86-2-3+1.1+3-(-2) 6+1-6 1 ||λ= (a₁₂ A₂. A³), √ = (b₁, b₂, bs) dba,b, tazbtai
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個 P1060 (2)(-3,2,5)、6=(-2,1,-3) =(-3)(-2)+2.1+5(-3) =6+2-15 7 次の2つのベクトルの内積を求めよ. (1)Q=(1,-2,6),T= (3,2,1) ・6=1.3+(-2)・2+6.1. =3-4+6 = 5 6=(2, (2) α = (4,1,-5), b = (2,-2.3) Orfor Q.6=4.2+1(-2) -5.3.)(1-6.5)=5.(1) =8-2-15 =-9 SE+ (-) S = 7-5 P33158=(1,1,1,官=(1,2月)のとき a⋅ b = 1× √2 + (-1) x 2√3 + 1 × (= √2) = -23 Tal = √1² + (-12²+12² = √√3 161-(1)+(2月)+1-1)=4 問10 -23 よって COSO √3×4 1 (050572) 次の2つのベクトルのなす角を求めよ(1-12 (1) a: (2,3)、B=(1,1,1) ā⋅ b = √12·1+2 √ √2 +31√2.1=652 . 101=√2+4+18=216 3 よって、COSO: 62√3 0日より 206.2 2 IB1=1+2+1=2. 0 = π (0 = 30°) 6 434 10
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Date 教P33 問10 (2)=(2-1,2),万=(-1,1,0) a⋅ b = 2⋅(-1)-1·1 +2.0. =-2-1 =-3 11=√2+(1+2=3 =++0= よってCOSO= 312 より o= = Od on 辰 問P1061 次の2つのベクトルのなす角を求めよ。 (1) d=(2,3,-1), B=(-1,2,-3) お・B=2・(-1)+3.2-1-(-3) =-2+6+3 =7. 1a1 = √2²+3² +(-1) = √14 (1)=(s) = 151 = √1-173² + 2² + (-37 = √14 = 's 1 1) + 3x1 8,7 COSO = (1)+(2)+(50) 151 200 920-57 D≦OSよりD=匹 3 (0:60°) (2) σ = (1,0, -1), b = (-2, 1, 1) (UHTANTSOK B=1.1-2)+0.1-11=-3 lal = √1+0+ (-1)² = 12 (1) 回) 16 =√(-2)²+1+1 =√√6 よって105D= -36 B 佐藤 2 D:DSより 8: (0-150) = =
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P1278 2つのベクトル=(1,2,-2,B'=(1,-1,4)の内積となす角 を求めよ.. a⋅ b = 1·1 +2⋅(-1)-2.4 11 9 10% ·la'l = √√√1² + 2² + (-2)² ++ 161 = √1²+(-1)² +4² こ 3 3. ・よって COSD= 3.312 - OSO SπよりO= a⋅ b = -9 教P33例題 (3,2,1), '=(-1,2,5)のとき、との両方に直交する 単位ベクトルでを求めよ. さ=(x,y,z)とおくと お:0より B:0より 3x+2y+z=0 +29+58:0 ①②からyを消去するとx=Z 九=Zをのに代入して y=-2z ② よって=(Z)-2ZZ)=Z(1,-2,1) これより=(1,-2,1)とおくと、ではびに平行である では単位ベクトルたから = V で二土 t 店(1,-2,1) +38-0
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Date 教P34問 = (2,2,-1)、6=(-2,1h)が直交するとき、次の問いに 答えよ。 (1)の値を求めよ. 06=0より2(-2) +211-1h=0 =h=2 k = -2 (2)との両方に直交する単位ベクトルを求めよ. 求める単位ベクトルを=(y,z)とおくと、 おで=0より 2x+2y-z=0. お=0より -2x+y-2z=0. ①+②より 3y-3z=0 y=z 81 y=zを①に代入すると2x+2y-y=0 s b f g h i n d s of よってでこくえ、-2x,-2x) x(1,-2,-2) y = -2x (158) THE これより=(-2,-2)とおくとではびに平行である。 では単位ベクトルだから v (1,-2,-2) 11+(-2)+(-2)² 1-2 よって求める単位ベクトルは±1/2(1,-2,-2)
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P1062 d (2,1,3)と=(-1,3,2)の両方に直交する単位ベクトル を求めよ。 求める単位ベクトルを=(x,y,z)とおくと お0より 2x+4+3Z=0. ・・・① =0より -x+3y+2z=0 ①×3-② 6x+3g+9z=0 -) −x + 3y +22=0. 7x +7z=0 z=-x Zニースを①に代入すると zx+y-3x=0 まってでして、水、一九) xy=x = x (1, 1, -1) これより『=(1,1)とおくとではびに平行である では単位ベクトルだから ·(1,1,-1). よって求める単価ベクトルは土方(111) P1279 0=(-1,4,3)と6=(5,-2,-3)の両方に直交する単位 ベクトルを求めよ 求める単位ベクトルを。(そ)とおくと a-c=081 -x+4 of +32 = 0 ・① B=0より 5x-27-3z=0 ①+②より 4x+2y=0 y=-2x. y=-2xを①に代入すると ~x=8:x+38=0 Z=3x
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とってもわかりやすい解法のノートをありがとうございます！