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第二章一階ODE及其應用 2.2.1描述未知函數及其倒數與變數之間的關係式,稱微分方程 式DE表示 常微分方程ordinary differential equation ODE 偏微分方程 partial differential equation PDE 應變數 dependent variable 自變數 independent variable 階數order:最高階導數之階數 次數 degree:最高階導數之次數 線性linear:未知函數及其導數與變數無 關均滿足,次數為一次,無互乘項,無非 線性函數,則稱此為線性微分方程式, 反之 ()+()... b = 0 二階三次ODE + taux dx + x² = lux ====+= 二階線性 球 + 1x y = 0 二階非線性 yy"+(sinx)-y · (sin x)·y = tanx 二階非線性 y" + siny = x 二階非線性
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Ju y² 3x + sin x) + y = u 一階非線性 dy 凡事能滿足ODE的函數稱為ODE的解 xy+sinxy=xx=0 0 + =0 為ODE的解 BMP MODE / Y" - f (x, you'.... y ₁-1) y+y=oy=Gcosx+2sinx 2 y=305X y=206x 0 y=2005X 1.通车:若ODE的车y=y(x),任意獨立常數的個數,等於此ODE階 數時,此解稱為ODE的通解。 2特车:若ODE的车y=y(x),是由通解所求得的,且不含任意常數,此 解稱為ODE的特育车particular Solution 3.異解:若ODE的早y=y(x),無法由ODE的通解求得,此解稱為ODE 的異解 ODE的通解,表示XY平面上的某一曲線族,而特解為曲線族中 的某一條曲線 ODE的異解,僅可能發生在高次或非線性ODE中,幾何意義為 通解的曲線族的包絡線或公切線 Note:通解不會穿過異解
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1.指出下列各微分方程式的階數次數是否為線性? a 4' +243 + 3605x=76 b 5y" + be sinx +4 +7X = 0 c (41)²+5x44 +3075=0 d (1+x³) (5dy+8dx)=10xy dx 84 +34 +8x5+ siny = 4² dx dy a 一階一次非線性ODE bIZODE C一階二次非線性ODE d 以丫為函數一階一次線性ODE,以X為函數的一階一次非線性ODE e 一階一次非線性PDE 4. To Solution can satisfy the same differential equations Plot two Solution on the XY plane discuss the Relationship between the two Solution y = x² y = cx- + c² y = xy' - 4 (41) ² 一階兩次的非線性ODE CX y = cx - 4/4 c ²² ODE 17; 11 Å y=22 ODE的異解 y = 72 x 通车的包絡線 C= C=2 C = -2 <=-1
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一階正合ODE 182 120DE/ M(x,y)dx+N(x,yldy=0 % 1/12 - 11/29 (x,y) dp = M(x,y) dx + N (xy) dy 則稱ODEM(x,y)dx+Nlxyldy 為一階正合ODE exsiny dx +ex cosy dy = 0 d (ex siny)=0 exsiny=c 判別式:若ODEM(xy)dx+N(x,y)dy= D 為正合ODE時若且唯若 JM N = y dx 證必要條件 為正合ODE時由定義可知 若ODEM(xiy)dx+N(x,y)dy=0 必存在一函數 中(y) 使得 24 = 3* dx+ 3* dy = M(x,y)dx+N(x,y)dy 3x = M(x,y) 34 = N(x14) dx 12 M J'd ON by dx dy JM JN Jy + dx dx dy dx 在D中為連續函數 中 = by dx dxdy JM ON = 84-8x
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證充分條件已知 JM ON 84-8x = 故必存在一函數中(x,y) 其函數及二階偏導數在D中均為連 續的函數使得 = M ' N = by dx dy 引益 dx dy 3x = M(x,y) 37 = N(x14) dx 再由全微分可得中=dx+ A/112/01 24=3+ dx+ 3+ dy = M(x,y)dx+N(x₁yldy - 因此由正合ODE的定義可知方程式 Mixy)dx+N(xiy)dy=o為正合ODE 1/2 ODE M(x,y)dx+N(x₁yldy = 0 為正合ODE存在 中二謎dx+ EEODETITE 24 = 3* dx+ 3* dy = M(x,y)dx+N(x,yldy 兩端積分可得ODE的车中(xy)=c 2ø X ·= Mixxy) = dy-N(xiy) + (x,y) = 1 * M(x,y) dx + fly) + (x, y) = √" N(x,y) dy + gi; 84 = 84 ) M(x,y) dx + fly) = N(x₁y) X fly) = N(xiy) - y) * M(xiy) dx fly) = (fly) dy $ (x,y) = ( * M(x,y) dx + fly)
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