ページ3:

บทที่
1 เซต (set) มันคือง่ายๆ ได้ใจความนะ set การพูดถึงกลุ่มกับสมาชิกในกลุ่มครับป๋ม
หมายถึง กลุ่มของสิ่งต่างๆ (ต้องทราบได้แน่นอนว่าสิ่งใดอยู่ ไม่อยู่ในกลุ่ม)
เช่น กลุ่มของนักแสดงที่หน้าตาดี X คำที่เป็นสมบัติลักษณะมักจะไม่ใช่เซต
กลุ่มของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก
ชนิดของเซต
Set
TODOROKI
รู้ว่าทั้งหมดหาไตร เช่น A+ 3 1,4,3,....., 100
1 เซตจํากัด ? เซต มีจํานวนสมาชิกแน่นอนและจํากัดจํานวนสมาชิก
2) เซตอนันต์ ?
เซตที่ไม่มีจํานวนสมาชิกแน่นอนและไม่จํากัดจํานวนสมาชิก
มีเรื่อย ๆ ไม่รู้ว่ามีกี่ตัว เช่น 6-
วิธีเขียนเซต
จะบอกสาวๆทุกตัวที่อยู่ในเซตนั้นๆ
1) แบบแจกแจงสมาชิก เช่น A - {o,e,i,o,u}
2) แบบบอกเงื่อนไข เช่น C: xx เป็นสระในภาษาอังกฤษ 3
สัญลักษณ์
1)
{} เซตว่าง (ไม่มีสมาชิกเลย)
a
สับเซต (Subset)
A = {1, {2}} Subset
HAPPY BIRTHDAY
Note
หมายถึง คน สัตว์ สิ่งของ หรือสิ่งที่เราสนใจ
วิธีการเขียน Se+
แบบแจกแจง จะบอกสมาชิกทุกตัวที่อยู่ในเซตนั้นๆ
แบบบอกเงื่อนไข
การมองเฟรเสพทั้งหมด
A = 1 x ด้วยเงื่อนไขของตัวเ
ปก โดยที
verset A works?
* เดือน ( มันไม่ใช่เซตว่างนะจ๊ะ
ก ก 1
2) € เป็นสมาชิกของ และ 4 ไม่เป็นสมาชิกของ
เช่น A = {1, {2,3},9}
จะได้
IEA, {2,3}EA, EA
3) C เป็นสับเซต และ 4 ไม่เป็นสับเซตของ
สมาชิกในตัวหน้า ในตัวหลังหมด
หรือก็คือตัวหน้าเป็นเซ็ตเล็กที่อยู่ในเซตตัวหลัง
67896
B าพได้ AcB
A = - {1,2}
ACB
(12)
, B = {1,2,3}
All subset is
{1}, {{2}}, {1, {2}}
เราว่างเป็น Subset บอกเชคสม
สูตรหาจำนวนของเซต
เต่ไอเช็ต เรา ท าตอบกลั
เฟส ในSet
.ด.
7
- จำนวนสับเซตทั้งหมด = 27
เช่น A = {1, 12?? จะได้ 2
จํานวนสับเซตแท้
=
2"-1
2 = 4
Power Set คือ เซตของเซตทั้งหมด
PCA) = {0, {1}, {{2}}, {1,2}}}
Power Set A จะมีค่า - Subsetทั้งหมด
จํานวนสมาชิกใน PCA) = 2
Subset 11 (0)
is 9, {1}, {{2}}, {
BAKUGOU
EXI. A = {1,3,5,7,9}
แบบแจกแจงสมาชิก
A-{1,3,5,7,93
แบบบอกเงื่อนไข
เ
www
A = {xlx เป็นจํานวนที่ไม่เกิน 10
ดังนั้นเงื่อนไข Set นี่คือ X เป็นจำนวนที่ที่ไม่เกิน 10
R
คือ จํานวนจริง
เพิ่มเตม
4)
5) I, Z คือ จํานวนเต็ม
N
คือ จํานวนนับ
7)
Q
คือ ตรรกะ
3)
Q'
ลือ ตรรกะ
9)
U
คือ เอกภพสัมพันธ์ คือ ขอบเขตของเซต
10)
N(A) คือ จํานวนสมาชิกในเซต A
A
A = {1,1,1,1,2,3,3,6,973
n(A), 5( ถ้ามีตัวหลายตัวนับแค่ตัวเดียว)
เจ้าของร่วงรัก

ページ4:

65965779/679648 (Venn diagram)
-ใช้ U แทน เอกภพสัมพัทธ์ A, B เป็นสันของ U
U
B
เซต A และ B ไม่มีสมาชิกร่วมกัน เรียกว่า ไม่มีส่วนร่วม
2
U
A
B
เซต A
และ - มีสมาชิกบางส่วนยอมกัน
O
B
สมาชิกทุกตัวของเซต A และ B ต่างเป็นสมาชิกของกัน (มีสมาชิกเหมือนกัน)
A - B

ページ5:

บทที่1 การดำาเนินการระหว่างเซต
1 อินเตอร์เซค
สัญลักษณ์ คือ “ก” แล้วก็ใช้คำว่า “และ”
2 ยูเนียน
สัญลักษณ์ คือ “U” แล้วก็ใช้คำว่า “หรือ”
3
คอมพลีเมนต์
สัญลักษณ์ คือ A
อไมเอาคิวพัน
หนังสือบางเล่มใช้สัญลักษณ์อื่นตา% A
bĀ, A°, "A, CCA)
4
ผลต่างระหว่างเซตา
มักเขียนว่า A-B
สูตร
A
D
B
U
An B “ กัน
U
B
U
Ex. A = { 1,z, 3 }
B = { 3,4}
.. An B - S3}
AuB “รวมกัน
Ex. A u B = {1, 2, 3, 4
d
A
“ นอกเหนือจาก A
EX. U={1,2,3}
A = {1,3}
A' = {1}
A
บ
A - B “มีใน A แต่ไม่มีใ
A
B
Ex. A = {0, 1, 2, 3, 4} 660 B = {3,4,5,6,7} som A-B wat B-A
A· B = { o,y,zY
B-A = {5,6,7}
ncAUB)= n(A) + n(B) - N(ANB)
(ตรงกลางถูกบอกไป 2 รอบ เลยต้องสืบตรงกลางออกรอบขาว)
A
B
NCAVBUC)=NCA)+n(B) + ncc) - N (ANB)-h(ANC)- n(BNC) + n (An BOC)
C

ページ6:

บทที่ 1 การแก้ปัญหาโดยเซต
สูตรที่ควรจำและนำไปใช้แก้ปัญหาเรื่องเซต
จ่าหอมสมุ
ก
NCAUB)= n(A) + n(B)-n (ANB)
(ตรงกลางถูกบอกไป 2 รอบ เลยต้องลบตรงกลางออกมา)
B
●NCAUBUC) NCA) + n(B) + ncc) - n (ANB)-h(ANC)- n (BNC) + n(AN BOC)
EX 1. จำนวนสมาชิกของเซตจำกัด A ใด ๆ จะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ (A)
กวาง A+ 21,3,4,5,6 และ B = {1,3,5,7
จะได้ Aub : 11,2,3,4,5,63
จะได้ n(A) - 3,
และ AnB = {3,5
n(B) = 4
n(AuB) = 7
n(AnB) = 2
,
EX 2. ก้าน เอกภพสัมพัทธ์ 1 (U) - 30
9 A และ B เส้นของ โดย
nCA): 15, nCB) 10 16A: h(ANB) = 3 93- CAU B)
Jon(AUB)= n(A) + n (B) - n(ANB)
เซต A และ B เป็นเซตจำกัดแล้ว ส ก ง ต A3 ได้ก
n(AUB) = n(A) + n(B) -n (AMB)
ในกรณีที่เซต A และ B ไม่มีสองร่วมกัน จะได้ว่า n(A02) - 0 ดัง
n(AUB) = n(A) + n(B)
A
12 37
บ
B
=
19 + 10 - 3
22 #
ด
ผังการใช้แทนแสดง เซตเพื่อ พวกสมาชิกของเราได้
bogann (A) = 15 66A2 n (ANB) = 3
ดังนั้น ส่วนของ
A ที่ไม่อยู่ใน
เนื่องจาก (9) + 10 และ n(Ah) = 3
จะได้ว่า ส่วนของ
9 คือ A-8 มีจำนวนสวดอีก 15 - 35 12 ตัว
8 ไร่อยู่ใน A ซึ่งคือ B - A มีจำนวนมาก 10. 3, 2 ตัว
Abbevono ar fi n (AUB) = 12 +3 +7=22
8

ページ7:

ที่
บทที่ 2
2
ตรรกศาสตร์

ページ8:

บทที่ 2 ประพจน์
ประพจน์ คือ ประโยคหรือข้อความที่สามารถบอกได้ว่าจริงหรือเท็จอย่างใดอย่างหนึ่ง
คาตารวจสอบว่าประโยคหรือข้อความ
1
1.1 มนุษย์ปกติทั่วไปมี 2
1.1 ระวังสอบตก ไม่เป็นประม
1.3 x²-49 = (x+7) (x-7)
ให้พประมงรือไม่
เป็นประจง ที่มีค่าความจริงเห็นเต็
x²-72(x+7) (x-73 เป็นประมง มีค่าความเป็นจริง
ตัวเชื่อมประพจน์
A
และ
ค่าความจริงของตัวเชื่อมประพจน์
2 V อ
P
9
PA9
Pv9
P→ 9
P+9
up
3
→→ ถ้า....แล้ว
T
T
T
T
T
T
F
4
← ก็ต่อเมื่อ
T
F
F
T
F
F
F
F
5
เสธ
T
F
T
T
F
T
ค่าความจริงของ เสธจะตรงข้ามกับ
F
F
F
E
T
T
T
ค่าความจริงของประพจน์เดิมเสมอ
2. กำหนด PET, 9 : F, EF จงหาค่าความจริงของประพจน์ต่อไปนี้
2.1 (paglor
TAF OF
T OF ET
• มีค่าความจริงเป็น จริง
2.2 ~r → (94~p)
•F (FA-T)
TF = F
- มีค่าความจริงเป็น เจ
2.3 ~(~qp)vr
~(~FT) VF
"(TT) VF
(T) VF
F VF = F
• มีค่าความจริงเป็น เจ
2.4 (~p+r)^-(979)
(TF)A (FT)
CF FACT)
T AF = F
- มีค่าความจริงเป็นเจ
d
หรือจะหาแบบแผนภาพต้นไม้
r
(TAE) - F
F
F
- มีค่าความจริงเป็น จริง
② (up+r)^ ~(q-p)
(TF) A (FT)
T
~(T)
F
- ค่าความจริงเป็น เด็จ

ページ9:

TIC
Nikon
OLAH
BLAH BL
BLAH BLAH
3
ก้านใต้
บ
p = T จงหาค่าความจริงของประพจน์ต่อไปนี้
3.1 (~p^9) (pv)
(-T 19) (pv)
(FAQ) → (pur)
F • (pvr)
ค่าความจริงของประพ
จำค่าความจริงของประพจน์ให้ดีๆ และ
= T
(PA9) > (Pr) มีค่าความจริงของประพจน์เป็นจริง
3.2 (pvs)
T
(rar)
CTVS) Cr^~r)
F = F
เนื่องจาก - คือค่าการข้ามของด่าคงจริง ทำให้ไม่มีทางที่จะเป็นทั้งสองหรือ F ทั้งสองค่า
ดังนั้น ประมานนี้เรารู้แต่ว่าจะต้องมี 1 ตัว และ F ฟังตัว
• ค่าความจริงของประพจน์ (pus) (Ar) มีค่าความจริงของประพจน์เป็น เท็จ
4 จงหาค่าความครั้งของ 2.9" เพื่อการใช้
4.1 (92) A per) มีค่าความจริงเป็นจริง
T
T
P = T
9 = F
F
F
r
= F
T
F
ค่าความจริตของ PY มีค่าความจริงเป็น 2 = T
9 = F และ r = F
9.2 9 v [cqr) vcrs)] šienanwaigvilas baña
F
F
≡ F
r : T
S
3 F
F T
T F
ค่าความจริตของ
91, S มีค่าความจริงเป็น
9
= F 3 T = T และ S = F

ページ10:

ค่าความจริงของประพจน์
านนาแปร
n²
จำนวนกรณีที่พิจารณามีค่าเท่ากับ 2 กรณี
✓2 = 2
✓ 238
1 67266918
2692669/8
3 ตัวแปร
P
9
P
9
r
T
T
T
T
T
T
F
T
T
T
T
F
F
T
F
F
T
F
F
T
F
F
F
T
T
F
T
F
F
F
T
F
F
F
6. จงสร้างตารางค่าความจริงต่อไป
5.1 (png) r
P
9
r
าร
5
PA9
T
T
T
F
T
F
T
T
F
T
T
T
T
F
T
F
F
T
T
F
F
T
F
T
F
T
T
F
F
T
F
T
F
T
F
T
F
F
T
F
F
T
F
F
F
T
F
T
00

ページ11:

การสมมูลของประพจน์
สัญลักษ ก ล า
ประพจน์ที่สมมูลกัน จะต้องมีค่าความจริงสอนกันทุกกรณี
วิธีตรวจสอบว่าประพจน์สมมูลกันหรือไม่ มี 3 วิธี
1. สร้าง ทรางค่าความจริง
0
จงตรวจสอบว่า "Pvๆ กับ P - ๆ สมมูลกันหรือไม่
.0
~Pv9 P9
P
up
F
T
T
T
T
F
T
F
F
F
F
T
T
T
T
F
F
T
T
T
* * PVๆ กับ P - 9 สัมมากัน
2.
ใช้รูบแบบประพล สมมติกัน
1)~(~) A
2) pvg = qvp, p^g = g^p, poq = grop
3) (pvq)vy = pv(qur)
ด้วยข่าง
(png)
E
(pr)^(q+r)
(png)
= ~(png) vr
(PA)AY PA(AY)
(pq)↔r= p(qr)
4) A = VA
ะ · วน
5) p9 = (p+9)^(9)
EX TDS = YvS
(pvg)r= ~(pvgvr
=
≡ CP v~q9) vr
(~pvr)v(~qvr)
= (par) v (qr)
4. ไม่มพูดได
6)~(pv) = up ng
“(phq) = - Pv”9
~(p-9) = PA~g
~(p+9)= ~ptig, pasug
7) pv (9^r) = (pvg)^ (pvr)
PACqur) = (pagv (par)
p>q qrup
pg = pvq
= qV ?
* สมพูดกัน

ページ12:

สัจนิรันดร์
ประพจน์ที่เป็นสักนิรันตร์ คือ ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริงทุกกรณี
วิธีการ ารวจสอบ จนิรันดร์ 3 วิธี
ใช้ตารางค่าความจริง ความจริงออกมาแล้วได้ 1 หมด) แปลว่า เป็นสัตว์ไร้พ
3) ใช้ขัดแย้ง อาเด็กออง เป็นคนด
ข้อใดเป็นสัจนิรันดร์
ไม่ขัดแย้ง ไม่เป็นสัจนิรันดร์
(2.9 (p-~9) v (q-up)
T
T
T
- ไม่ขัดแย้ง ไม่เป็นสัจนิรันดร์
→
7.2 (pv9) (~p+q)
F
F F
ขัดแย้งกัน จนสร
F
F
F
ใช้ลมมด
โจทย์ได้มาในรูปแบบ A+B เราสามารถใช้การสมมาในการจสอบว่าเป็นพระพรหรือไม่ได้
ถ้า A สมพลกับ 8 666 ว่า AB พจน
ถ้า A ไม่สนมกัน 3 แสดงว่า AB ไม่มีเ
8
จงตรวจสอบว่าประพจน์ที่
เป็นสัจนิรันดร ไม่
[8.1 [p>(q»r]] ↔ [cp^q>>]
p>(98) = ~ pv (qr)
= up v (~qvr)
= cpv«qvr_
= ~(png) vr
= (png) → r
4. สัมมากัน เป็นต้น นอร์
8.2 ~(p19) (pung)
(~p~gles (uprug)
4. สัมมากัน เป็นสัจนิรันดร์
10

ページ13:

การอ้างเหตุผล
โจทย์จะมีตา กับ ผล มาใช้ตรวจสอบว่า การเหตุที่สมหรือไม่
วิธีการตรวจสอบโดยใช้วัจน์
โดยจ
1. นำเอาทุกเวลามาเชื่อมด้วยตัวเชื่อมประพัฒน์
2. เอาตัวเขามาเชื่อม - ถ้า...แล้ว กัน ผลลัพธ์
A At
3. ตรวจว่าเป็นสัตว์รันดร์หรือไม่ ถ้าเป็นร้าน แสดงว่า สมเหตุสมผล
ถ้าไม่เป็นสัจนิรันดร์ แสดงว่า ไม่สมเหตุสมผล
9 การอ้างเหตุผลต่อไปนั่งสมเดจะไม่
0
-
1. P (qvr)
4. เจด
1
4. uqAvr
WA
Pr
[[p+cqvr]] ^ [~q^ur]] → [p+r)
A
T
T
T
F F
4. เป็น แปลว่า สมเหตุสมผล
HA
HA
HA!
F

ページ14:

0
หลักการหาค่าความจริงของตัวบ่งปริมาณ
Vx[P(x)] เป็นจริง เพื่อแทนค่า x ที่อยู่ในเอกภพสัมพันธ์ทุกตัว Pcx) แล้วได้ผลลัพธ์เป็นจริง
0
เป็นเท็จ เมื่อ X อย่างน้อย 1 ตัวที่อยู่ในเอกภพสัมพันธ์ที่แทนค่าลงใน P(x) แล้วได้ผลลัพธ์เป็นเท็จ
1x[P(x) เป็นจริง เมื่อ แทนค่า x อย่างน้อย 1 ตัววงใน Pet) แล้วได้ผลลัพธ์เป็นจริง
เป็นเท็จเมื่อไม่มี X ตัวไรเลยแทนใน Pcx) แล้วได้จริง
10 99กความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณต่อไปนี้
ตัวบ่งปริมาณ แทนด้วยสัญลักษณ์
VX แทน สำหรับ X ทุกตัว
10.1 Vx (x² >7], U = {2,3,4}
3x
x = 2;
2 > 7
: F
4 >7 F
02_3x [ x ‹o], U = { 1,0,-1}
F
แทน สําหรับ X บางตัว
U แทน เอกภพสัมพัทธ์
R แทน เซตของจํานวนจริง
0 แท เซตของจํานวนตรรกยะ
Z แทน เซตของจํานวนเต็ม
N แทน เซตของ
านวน
X =l ; 1 < 0
x = 0; 040
F
X = -1; ·1 < 0
T
" T
10.3 x [x 0 v x² = 0], U = {0,1,2,3, 4}
x=0;0%30 v o² = 0
F V TET
X1%; 1 0 0 1 ² = 0
T V FET
X = 2; 20 V 2² = 0
T v FET
i. T
10.4 \x [x #0] v \x[x²= 0],U = {0,1,2,3,4}
X = 0 ;
070 X = 1; I'≠ 0
F
V
F
F
= F
b5 3x Cx' + 1 = 0],
x²+1=0
X
เนื่องจาก x 2 0
= -1
U=R
ไม่มี
i. F
X 7x+1
0>1
10.6 x x x + 1], U = N
X=1; 121 F
F

ページ15:

MY DAY
IS FULL
of you/
บทที่ 2
จํานวนจริง

ページ16:

Dise
ระบบจํานวนจริง
ประกอบด้วย
www
FG
จํานวนอตรรกยะ (๑)
- ทศนิยม ไม่รู้จบ ไม่ซ้ำ เช่น 1,295
-ป๋องรกไม่ลง เช่น 3,11
-ค่าคงทีพิเศษบางตัว เช่น
จํานวนจริง (R)
จํานวนตรรกยกะ (Q)
จํานวนเต็ม (Z, I)
πT
- เต๊มลบ (I)
เต็มศูนย์ (1)
Lเต็มบวก (I). อ า พ รรมชาติ
จำนวนตรรกยะที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม
เศษส่วน เช่น
ทศนิยม จบ เช่น 1.5,0.15
- ทศนิยม ไม่รู้จบ เช่น 1.45, 0.4
สมบัติการเท่ากัน
จำนวนจริง มีสมบัติเกี่ยวกับการเท่ากันอยู่ 5 ข้อ ดังนี้
. สมบัติการสะท้อน
. สมบัติการสมมาตร
สมบัติการถ่ายทอด
• สมบัติการบวกด้วยตัวเท่า
a = a เสมอ
ถ้า a = b แล้ว b = a
ถ้า a = b และ b = c แล้ว a = c
ถ้า a = 6 แล้ว a + c = b + c
สมบัติการคูณด้วยตัวเท่า ถ้า a = b แล้ว ac = bc
29
{Note!!!
be positive
• สมบัตการบอกและคณ
สมบัติปิด
สมบัติ
1. a+be R
การบวก
การคูณ
6.
ab € R
7.
ab = ba
สมบัติการสลับที
2. a+b=b+a
สมบัติการเปลี่ยนหมู่ 3. (a+b)+c = a + (b+c)
สมบัติการมีเอกลักษณ์ 4.0 + 0 = a = 0 + 4
สมบัติการมีตัวผกผัน
สมบัติการแจกแจง
เรียก 0 ว่า เอกลักษณ์การบวก
5. a +(-a) = 0 = (-a)+ a
เรียก - ว่าตัวผกผันการบวก
หรืออินเวอร์สการบวกของ 4
8. (ab)c = a(bc)
9.
a-1=a=1.a
เรียก 1 ว่า เอกลักษณ์การคูณ
10. ถ้า a ≠ 0 แล้ว
a'a' =l = d'a
เรียก " ว่า ตัวผกผันการคูณ
หรืออินเวอร์สการคูณของ 4
11. a(b+c) abac was (a+b)c = ac+ he

ページ17:

หนามตัวแปรเดียว
wwwwwwwww.
6 เอกนาม คือ การคูณกันของตัวเลขกับตัวแปร โดยที่เลยที่กำลังของตัวแปรต้องเป็น 0 จำนวนเชื้อรา
- สัมประสิทธิ์ คือ ส่วนที่เป็นตัวเลข
-
ลักของพหุนาม คือ จักรของเอกนามที่จักรีสูงสุดแก่พานเลี้ยว
ตัวเศษจะมีกรองว่าตัวกรอง 1
= ดาวหาร × ผล การ + เคน หลอ
endong
4 หลักๆอยู่
od d
2
วิธี คือ
1.ตรงยาว
ข้อเสีย วุ่นวาย ใช้เวลาหา ข้อดี ดีกรีเท่าไหร่ก็ได้
2.การสังเคราะห์ ข้อเสีย ตรงที่ตัวการได้แต่ดีกรี
1
ข้อดี ได้เร็วไม่วุ่นวาย
หารยาว
EX.
x4 + 3x - 4x +5 จารด้วย X-24gents และเศษ
x
2x + 7X + 10
√x² + Ox³ + 3x² - 4x + 5
X-2
X
-
2X
3x²
2x3 + 3x
.%
เคร
2x - 4x
9x²-4×
²-14×
10x+5
10X-20
25
X³ + 2x² + 9x+1025
การสังเคราะห์
Ex.
X-L = 0
X = 2
X" + 3x²-4x+5 ansones X-2 299meron 536.18E GOTEN
1
ตัวจร
0
3 -4
5
สัมประสิทธิ์ ของตัวง
2
+
+
+
f
2
4
14
20
1x3
+ 2x
2
เศษ
25
+
7x+ 10 beta 25
>
10
Cuaro45

ページ18:

การแยกตัวประกอบของพหุนาม
ทฤษฎีบทเศษเหลือ
<= a
ก้าน ให้ ((x) เพทายใดๆ หารด้วย 3-0 เซตที่ได้จะมีค่าเท่ากับ po)
X-1-0
Ex. 0 4 - 2 + x-4 หารด้วย X-จงเศษที่ได้จากการกร
เศษ
: (1) - 2 (0) + (1) - 4
= 1-2 +1-4
เศษ = -4
2x-1
= 0
!!?
2x = 1
x= 1
2
EX. m Ø 2x- ตร
4(4) + C (2) -
เศษ =
0 =
0:
- 3
*(*) * c(1)-3
\ + c − 3
2
4x + CX-3 ลงตัว เศษเหลือ
2
0 =
-2+ C
2
=
งง
C
4 = C
=
4
ทฤษฎีบท วประกอบ
พนาม P(x)
มี 4-6 เป็นตัวประกอบ ก็อายเมื่อ PCC) : 0
Note G
(x=1)
EX. จงแสดงว่า X-1 เป็นตัวประกอบ 1.2- 5% +6
(1)-2(1)-5(1) +6 = เพ
1-2 - 5 +6 : borow
0 = เษ
X-1 เป็นตัวประกอบของ 3 - 2 - 5% + 5

ページ19:

4
สมการพหุนามตัวแปรเดย
• 4,
คือ สมการที่เขียนได้ในรูป 2x + 2-1
4 หลักการแก้สมการพยามตัวแปรเดียวที่มีจักรตั้งแต่
0
1.
4. เราจะ โม โด งง ง น 0
h-1
h-2
+an-2x
+ax+ao
:0
9480
4. แยกตัวประกอบ เสริม ab: 0 หมามา 2 - 0 หรือ 5 - 0
3. ถ้าเป็นสมการกำลังสอง แยกตัวประกอบไม่ได้ สามารถใช้สูตรหายา
①8 ax² + bx + c
- 0 สามารถหาค่า % ได้จาก 4 - 6 + 6
ACC
3) จากการกองเก็บ
24
สูตรหาจํานวนค่าตอบ
สมการ ax2 + bx + c = 0 จะมีคำตอบได้ไม่เกิน 2 ค่าตอบที่แตกต่างกัน
°
ถ้า b – 4ac > 0 สมการนี้ จะมี 2 คำตอบ
°
ถ้า b – 4ac = 0 สมการนี้ จะมี 1 คำตอบ
°
ถ้า b – 4ac < 0 สมการนี้ จะไม่มีคำตอบ
เช่น สมการ x – 3x + 2 = 0 จะมี 2 คำตอบ เพราะ (-3) – 4(1)(2) = 9 – 8 = 1 > 0
๏ เศษของพหุนาม
5
4 6 PC) และ (4) เป็นทุน โดยที่ ((x) 10 เรียก (8) เศษส่วนของพนามที่ 2 เป็น 4, 96)
9(x)
เป็นตัวสวน
1) ×-1
x²-1
=
x-1
(x-1)(x+1)
1 120 x 1
x+1
2) 4x+8
3x²+ bx
= 4(x+2)
3x(x+2)
=
4
6210 x 2
3x

ページ20:

๏ สมการเศษส่วนของพานาม
คือ สมการที่สามารถจัดให้อยู่ในรูป ((x) = 0 เมื่อ 2) และ (3) มม โดยที่
X)
1
9(x) +0
Ex.คงของสมการ
จัดรูปสมทใหม่ได้เป็น
x +1
= 1
-1
0
+
x
x+1
(x+l) + x-x (+1)
= O
จะได้ 14 x - x - 0
x(x+1)
1+ x - x'
x(x+1)
11A x(x+1) #0
0
นั่นคือ * * * * หรือ ** 1 - 5 โดยที่ x = 0 และ * * -
N/
0% x = 1 + √5
2
95 x 1-S
x
1-√5
2
ตอบ เตาอบของสมการ คือ ₤1-55
ๆ
1+√5
2
การไม่เท่ากันของจํานวนจริง
ธ มาร่
การไมเ
ไม่เท่ากันของจำนวนครั้ง
a> barneng
a-b> o
4 0.46 หมายถึง 4 - 6 4 0
For a=b craneng a >b 2950 a=b
asb
หมายค
a <b aso a = b
For ab 22 a <b>b
1.การถ่ายทอด
สมบัติ
สาระ
ถ้าa>b และ b>c แล้วa>c
2.การบวกตัว จํานวนที่เท่ากัน
3.การคูณด้วยจํานวนที่เท่ากัน
4.การ ตวจกส่าหรับการบวก
5.การตัดจอกสาหรับการคูณ
ma>buna+c> b+c
na>bua: c>0 un ac>bc
ma>b และ c<0 แล้ว ac < bc
ma+c>b + c ua>b
Mac > bc และ c>0 แล้วa>b
Mac > bc และ c<0 uk asb

ページ21:

๏ อสมการพหุนามตัวแปรเดียว
A
ช่วง (Interval)
บทนิยาม
กําหนดให้เอกภพสัมพัทธ์คือ เซตของจํานวนจริง และ a <b
ช่วงเปิด (3, 6) หมายถึง (xla 4 x 4 b}
a
b
ช่วงปิด [a, b] หมายถึง (xla ≤ x = b}
a
b
ช่วงครึ่งเปิด (3, 6] หมายถึง {xia ≤ x ≤ b}
a
b
ช่วงครึ่งเปิด (a, b) หมายถึง (xla = x < b}
ช่วง (a, ) หมายถึง (x|x > a}
a
b
ช่วง [a, ) หมายถึง {xix = a}
ช่วง (-2, 4) หมายถึง {xlx < a}
a
ช่วง (-2, a] หมายถึง {xx - a}
a
4 การแก้สมการตั้งแต่กำลังสองขึ้นไปตัวแปรเดียว
2. แยกตัวประกอบ
3. ค่ากฤต (ตัวที่ทำให้แต่ละวงเป็น 0 เรื่องเล่าไม่
4.
- ค่าวิกฤตไปด้วยเส้นดำชวน
5. เขียนเครื่องขายแบ่งช่วง โดยให้ทางบทเป็นมากเสมอ
6. ถ้าเอามาน อสมการเป็น > > ไปลากเส้นคำตอบไปช่วย
ถ้าเครื่องของ อสมการเป็น 4, 4 ไปเป็นคำตอบไปช่วง
Ex.999 สอบของสมการต่อไป
1. (x+1)(x-3) LO
x+1=0
X-330)
x = -1
X = 3
ควรระวัง
1. ก่อนแยกตัวประกอบ การทำให้ตัวเลขอยู่หน้าตัว แปรเป็นอีกสูงสุด
เป็นบวกก่อนเสมอ
2. จำนวนที่มีค่าเป็นลบ ไปคุณหรือสาร อสมการต้องเปลี่ยนเครื่องหมาย
3. ค่าวการของตัวส่วน จะต้องเป็นช่วงเปิดเสมอ
X = -1, 3
+
+
[-1,3] XX
-1
3

ページ22:

จ ดาสมบูรณ์
นิยามค่าสัมบูรณ์ ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนจริง 2 เขียนด้วย al
lal
a
= {a ; a z o
-Q ; Q < 0
0
4 สมบัติของค่าสมบูรณ์
1. TxT - I-x7
a. |xy| = lxlly|
ล. xy=xy
3.
= ☑ เมื่อ
lyl
4. lx-yl = ly-xl
5. 1x1² = x²
6. lx+yl = \xlly !
y ≠ 0
A อสมการค่าสมบูรณ์
4 สมการค่าสัมบูรณ์
a
ถ้า 2 เป็นจำนวนบวกใดๆ ถ้า 4 = 0 แล้ว A = 0 40 8 -0
Ex 1. |X| = 6
a
EX2. 14-31=5
d
X-3 = 5
X = 8
250 x-3=-5
d
0f0
x = -A
ถ้า 2 เป็นจำนวนครั้งบวกใดๆ
Al<a-acola EX. ]x] < 2 ->
lol ≤ a boom asosa
774×47
| Al > a bad s > a aso D <a Ex. lx-21>>> X-279 2950 X-2 <->
A za sz a voss-a
|A| 2 ≥ ID แล้ว 4 2 2 0
Ex. X-21>x-3 (X-2)²> (x-3)²
Note!