ページ1:

No.
Date
図 確率変数と確率分布
確率変数…確率によって変化する値
ex. サイコロの目(=x)
2
3
4
5
61計
P
_ _
6
6
6
6
6
確率 P(2≦x≦4)=1/2
LXA LÂ
PP. P2
In st
Pull
↓
Xの確率分布
Xはこの分布に従う。
cs CamScannerでスキャン、

ページ2:

No.
Date
国 確率変数と期待値
ex. 1枚のコインを2回投げる
(表の出る回数=X)
確率分布表は
0
1
2 計
P
4
4
4
これて何度も行ったときの
2
回
Xの平均を考える・茶谷の小汽車道口
0.4+1.1+2.4
=Xの期待値(平均)という!
一確率変数の期待値
XX, Xz
P Pi P2
Int
Pm1
X
確率変数Xが上の分布に従うとき
n
X₁ P₁ + X₂ P2 + ... + Kn Pn = 2 K+PE
をXの期待値(平均)と・・・、E(x),mとかく
cs CamScanner でスキャン

ページ3:

<例> 1回500円のゲームについて
20%の確率で1000円、30%の確率で500円
50%の確率で100円もらえるとする。
もらえる額で確率変数Xとすると、
※の期待値はいくらか。
E(x)=1000 //+500・音+100・音
=400円
.
確率変数の分散・標準偏差
X X, X2
P P. P2
偏差(平均との差)
Hi-m,X2-m,
偏差の2乗
Kn
Pal
確率変数Xは
左の分布に従う
Xn-m
(X₁- m)², (x²-m)², ..., (Kn-m)²
偏差の2乗の平均(
(X₁- m) p₁ + (x₁- m) P₁ + - + (^n-m)pm
確率変数の分散=V(x)
cs CamScanner でスキャン

ページ4:

LV(x)
6(x)
標準偏差
確率変数の分散・標準偏差
My
Date
分散=V(x)= E[X-m3]
=
• (k-m)p, + ... + (ka-m) pm
(An-m)pn
標準偏差:6(x)=(x)
1112
※V(x)=E(x2)-{(x)}とも計算できる!
(2乗の期待値)-(期待値の2乗)
cs CamScanner でスキャン

ページ5:

<証明>
√(x) = (1+ - m) PE
•
Σ (x²-2mxk+ m²) Pk
•Σ(Riph-2mkopo+mpo)
n
=
XE PF-2m²₁ X+P+ + m²Σ
m
Σ XF PF - 2m⋅ m + m² 1
確率変数Xの期待値
· V(x) = E(x²) - {E(x) } ²
ki
+Pk
es CamScanner でスキャン

ページ6:

Dass
<例>
30
の確率で500
の確率で1,000
回200円のゲームについて、
50%の確率で100円もらえるとする。
らえる額の確率変数を×としたとき、
V(x),8(x)を求めよ。
E(x)=1001/+500.2
X1005001000計
P
51212
1
10 10 10
+1000/1/2=400,本以下
√(x) = ((00-400) ². 50 + (500-400) ². 10
+(1000-400)//
=45000+3000+72000=120000
6(x) = √120000 = 346,,
dhan to id
cs CamScannerでスキャン.
+ X

ページ7:

No.
Date
確率変数の変換
Xは下の分布に従う確率変数
X X X2
計
Pa1
xk
atk+b
PP, P2
X
ax+b
確率変数の変換
op=002]
ax+bの確率分布は
ax+bat+batstb
...
ab計300
P Pi P2
Dn I
変換後も確率は変わらない!
ax+bの期待値
n
E(ax + b) = Σ (ax²+ + b) pk = Σ (ax+PR+ bpp).
= az xxPx + b² 4p+ =αEx+b.
K=1
XPk
Ex
cs CamScanner でスキャン

ページ8:

No.
Data
ax+bの分散
atk+b-Elax+b)=ax+b_{al(x)+b}
{X+- E(X)]
V (ax + b) = α=> { x + - E(X)YPE = a*X(X)
ax+bの標準偏差
V (X) (XV
61ax+b)=Vlax+b)=at(x)=lal6(x)
-確率変数の変換
確率変数Xをax+bと変換すると
Zax+bと変換すると阿
E(ax+b)=aE(x)+b
Vlax+b)=d2V(x)
ólax+b)=lala(x)
CS CamScannerでスキャン・

ページ9:

No
Pata
<例>E(x)=(x)=(x)=3/2のとぎ
2X+1の期待値分散、標準偏差を求めよ。」
<解答> E(2x+1)=2E+1
同時分布
2.2+1=4
.
√(2x+1) = 4√(x) = 4 ⋅ 4 = 14
J(2x+1)=1218(x)=2.1/2=14
同時分布…確率変数X,Yの対応関係を
表にまとめたもの
ex. 本の当たりくじを含む5本のくじがある。
まずのび太がくじを引き、次に残りからジャイアンが
1本引く。のび太、ジャイアンが引いた当たりくじの数を
それぞれX,Yとするとき,XとYの同時分布を求めよ。
0
計
4P(X=0,Y=1)
0号号 号
X=0かつY=1
11/01
5
計苦言い
"CamScanner でスキャン
となる確率

ページ10:

X2 P21 P22
y, y
X₁ Pi Piz
ym st
Pim Pi
Pam P₂ DIYXMARMY
Xn Pni Puz
Phm Pn
計 9,92
9m 1
・各々についてP(X=ai)=Piy=P
j
街についてDIY=y)=Pij=9jVE
CS CamScanner でスキャン
B B B B Y

ページ11:

Dala
D
確率変数の和の期待値
・確率変数X,Yについて
E(X + Y) = E(X) + ELD.
E(ax+ bx) = αE(x) + bE(D)
.E(X + Y + Z) = E(x) + E(X) + E (z)
ex E(2x+Y+3)
=
• 2 Em + Em+3
これが分かれば求まる!!
F(X+X) = E(X) + E(Y)
y... Yj... ym t
X₁ Dil
113
Pij Pim Pi
Xi Pil... Pij
Pim Pi
Xn Pni... Pnj
•Prim Pn.
es mariner 9.17 ± 9m 1.

ページ12:

E(x+1)=(xity))Pij
=
IN
Nipi+yopi
=
+
No.
Di
dipityiqi
- EM
E(x)+EM)
CS CamScanner でスキャン・

ページ13:

□独立な確率変数の期待値・分散
復習 事象ABが互いの確率に影響を与えない
AとBは独立である。
↓
PIANB)=P(AP(B)
ex. コイン投げ、サイコロ投げ、くじ引き(元に戻す)
確率変数の独立
確率変数XとYが互いに独立である
P(X=a,Y=b)=P(X=a)
P(Y=b)
cs CamScanner でスキャン

ページ14:

確率変数X,Yが互いに独立のとき
E(XX) = F(X) E(X)
E(XYZ) = E(X) E(DE (2)
√(X + Y) = √(x) + V(Y)
V (ax + bx) = a² √(x) + b² V (r).
V (X + Y + z) = √(x) + V√(D) +V(z)
=
E(XY) - Em En
E(x)=igipigi
m
• 2 xipi & Yiqi
= E(x)E(x)
CS CamScanner

ページ15:

V (X+X)=E[(x+Y)*][F(x+ Y)]²
= E(X+2XY+Y')-[E(x) + E(Y)]²
= E(X²) +2E (XY) + E(Y²)
- [E(x)]²=2E(x)E(Y) - [E(n]²
=
= √(x) +V (n)
CS CamScanner P
2
+