ページ1:

จํานวนจริง
ประกอบด้วยจน ตรรกยะ และในตรรกยะ
จ. รรกยะ
จน.จริง
จน. ตรรกยะ
มะที่ไม่ใช่จนเต็ม
จนเม
"
จน.ม-
ทน.เสม
น. ม +
จน.ครกมะ
จน. รรกยะ
2
TH.'
I
ทน.นับ
ที่เขียนในรูปเป็นส่วน ๆ ได้เมื่อ 4,6
• จน.ม และ 6 ≠ 0
หรืออยู่ในรูปทศนิยมซ้ำ เช่น 1, 0-4, -2, 0 ฯลฯ
จน.อตรรกยะ
2 3..
ที่ไม่สามารถเขียนในรูปเป็นส่วนหรือทศนิยม เช่น 2, 2.737337333..., 12, 1
ทศนิยมซ้ำ
2 น. ตรรกยะ ซึ่งอาจเป็นนิยมศูนย์ เช่น 3.410, 5.210 แต่ไม่นิยมเขียน 0
EX1.
EX 1.
EX4.
จะเขียนเพียง 3.41, โดยสามารถแปลงเป็นเช่นส่วนได้ ดังนี้
5.27
EX 2.
0.25= 90
25-2 23
10
EX 3.
658-6
625
=
3.458 F 110
370
ไม่ม・: 0
เศษส่วนเปลี่ยนเป็นทศนิยม เช่น
123
0.555... ± 0.5
EX 2.
25
19
0.252525... 0.25
EX 3.
10 0.2777... 0.27
EX S. 123
0.13666... = 0.13
177 0.123123123... 0.123
• รากที่ 2
ให้ 4 แทนจน จริงพวกใด ๆ หรือศูนย์ รากที่ 2 ของ 4 :
4 เป็นรากที่ 2
1 123 1. เพราะ : 1
- เป็นรากที่ 2 ของ 25 เพราะ
12
-0.1 เป็นรากที่ 2 ของ 0.04 เพราะ (-0.2) : 0.04
EX1. x² = 25
..
X :
.
: 5
5 หรือ x =
=(-5)²
5 หรือ 5
EX 2.0-2
ยกกำาลังสองทั้งสองข้างของสมการ
(√x)²= (10.2)
จนจริงยกกำลังสองแล้วได้ 4
- รากที่ 2 ของ 0 : 0
รากที่ 2 ของ จน จริงมาก - จน ตรรกยะหรือจน ตรรกยะ
อย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น
- รากที่ 2 ของ จน จริงคน 4 คน
x
= 0.2
24/01/64
14

ページ2:

สมบัติของรากที่ 2
2
1. การ +, - รากที่ 2 จะสามารถนำมาคิดได้ก็ต่อเมื่อรากที่ 1 เท่ากัน
น่าเลขหน้าของรากที่ มา 1 - กัน เหลือรากที่ 2 เท่าเดิม
EXL.
EX2.
+,
2333 = 553
1 - 3 T = 352
2. การ : รากที่ 2 ในน่าจน ในรากที่ 2 27 x กันได้เลย
EX 1. 444
EX 2. 1 x 9 : 13 : 37
3. การ - รากที่ 2 ลำ -
รากที่
3
=
√9 = 2
ให้ 4 แทน จน จริงพวกใด ๆ รายที่ 3 ของ4 : จน จริงที่ผูกกำลัง 3
แล้วได้ 4 เขียนแทนสัญลักษณ์ 14
การท่าโจทร
ตัวอย่างที่ 1 จงหาผลลัพธ์ของ VX - 1 = 4
วิธีทา
ยกกำลังสามทั้งสองข้าง จะได้
(√x-1)³ 4³
=
การทําโจทย์
ให้น่าข้อสังเกต และคุณสมบัติต่างๆ มาประยุกต์ใช้ในการ
ทำโจทย์เพื่อต. ง่ายขึ้น
ตัวอย่างที่ 1 จงหาผลลัพธ์ของ 6 x 3 + 49
√2
√6×√3+49= √18
วิธีทา
√2
ตัวอย่างที่ 2 จงหาผลลัพธ์ของ
วิธีทา
3/5 + 10
√125
=
√2
+49
+4√9
√9+4√9
59
= 5x3
15
3√5+10
√125
จบแบบกยกงมงายบน
3√5+ (2x5x
√125
3√5+ (2x
3
xsx
5√5
35 + 2 √ 5
5√5
5√5
5√5
= 1
ตอบ
x − 1
=>
64
64 + 1 = 65
ตอบ
x
ตัวอย่างที่ 2 จงหาผลลัพธ์ของ 2x + 5 = 2
วิธีทา
ยกกำลังสามทั้งสองข้าง จะได้
(√√2x+5)³ = 23
2x + 5
= 8
2x
8-5
2x
3
3
x =
2
ตัวอย่างที่ 3 จงหาผลลัพธ์ของ 43/2477 + 22744
วิธีทา
43/2477+23/2744
8
3√8
63/2744
2
ตอบ
=
6 x 14 = 42
ตอบ
2
รากที
j
เป็นจนเต็ม
ก ( เมล n เป็นจน.เสม และ 11)
รากที่ n คุณสมบัติและการทำโจทย์เหมือนรากที่ 2 เพียงแต่ว่า n เป็นจน อะไรก็ถอดรากออกมาตามจนนั้นและคิดหาคำตอบต่อไป
ท
ตัวอย่าง
จงหาผลลัพธ์ของ -1 + 3-1
27
X
-√9
√64
วิธีทา
-1 + 3 -1
√ 9
4-1
Xx
Xx
3√27
6√64
4(-1)
-3
12
=
6
= 2
ตอบ
ตอบ
15

ページ3:

• เอกนาม
=
นิพจน์ที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปของการคุณของค่าคงตัวกับตัวแปรตั้งแต่ 1 + และเลขที่กำลังของตัวแปรแต่ละตัวเป็น 0 จนเต็ม 4
สัมประสิทธิ์ของเอกนาม
ค่าคงตัวที่คุณอยู่กับตัวแปรของเอกนาม
ดีกรีของเอกนาม
ผลรวมหรือผลบวกของเลขที่กำลังของตัวแปรแต่ละตัวในเอกนาม
EX1
EX2
4
- 35x10 สัมประสิทธิ์ : -35 ดีกรีของกนาม : 2
124x
4
7
2 สัมประสิทธิ์ * 124 เกรของเอกนาม : 2
Ax^ y'z
การบวกและการลนเอกนาม
สามารถทำได้เมื่อ
1. เอกนามทั้งสองมีตัวแปรเดียวกัน หรือเรียกอีกอย่างว่าเป็นเอกนามที่คล้ายกัน
1. เลขที่กำลังของตัวแปรเดียวกันในแต่ละเอกนามเท่ากัน
3. การ + และการ - เอกนาม จะนำเฉพาะค่าสัมประสิทธิ์มา
การบวกเลิกนาม
+ -
กันเท่านั้น ส่วนตัวแปรจะคงเหมือนเดิม
ผลบวกของเอกนามที่คล้ายกัน : (ผลบวกของสัมประสิทธิ์) 4 (พจน์ของตัวแปรที่คล้ายกัน)
81 จงหาผลบวกของ 5x49x
5x * + 9x*
(5+9)׳
= 14X
X2 จงหาผลบวกของ 5'' + (11) 46
2
*
3/02/65
การลนเอกนาม
5a'b' (-2)ab'
=
[5+ (-2)] ab²
= 3ab2
ผลคนของเอกนามที่คล้ายกัน : (ผลคนของสัมประสิทธิ์) 4 (พจน์ของตัวแปรที่คล้ายกัน)
EX1 จงหาผลลบของ เx - 3x
6x′ - 8x* =(6-8)×
= -2x²
EX จงหาผลลบของ 94
. (-3) 46
Sa b³ (-3) ab³
[1-(-3)] a'b'
(7+3)96³
=
12 a' b³
การคุณเอกรามกันเอกนาม
ผลคุณของเอกนามกันเอกนาม : (ผลคุณของสัมประสิทธิ์) x (ผลการคุณของตัวแปร)
EX จงหาผลคูณของ (-24 ) (5 x 3)
(-2x²) (5׳ ³) = (-2 × 5) (x²+3) (y **³) = -10x³ y₁
16

ページ4:

• พหุนาม
นิพจน์ที่อยู่ในรูปเอกนามหรือรูปการพวกของเอกนามตั้งแต่ 2 เอกนาม : พหุนามที่มีเอกนามที่คล้ายกัน
เรียกเอกนามที่คล้ายกันว่านอนที่คล้ายกัน
พหุนามที่มีนิพจน์ทางนิพจน์คล้ายกัน สามารถเขียนให้อยู่ในรูปพหุนามในรูปผลสำเร็จ โดยรวมพจน์ที่คล้ายกันเข้าด้วยกัน
เพื่อทำให้เป็นพหุนามที่ไม่มั่นจนกลายกันเลย
พหุนามในรูปผลสำเร็จ : พหุนามที่ไม่มีพจน์ใดคล้ายกันเลย
:
ดีกรี
กรีของพหุนาม
เลขที่กำลังที่มีค่าสูงสุดของพจน์ของพหุนามในรูปผลสำเร็จ
การเวกและสนทนา
เนื่องจากพหุนามคือเอกนามที่พวกกันตั้งแต่ 2
2 เอกนาม+
1. การพวกพหุนาม ให้นาพหุนาม : พจน์ที่กล้ายกันเท่านั้น
+
1. การลบพหุนาม ให้บวกพหุนามที่เป็นตัวตั้งควยจน ตรงข้ามของมาแต่ละพจน์ของพหุนามที่เป็นตัวตน
EX1 หาผลบวกของ Tx - x + 4 กัน x - 3x +6
(7x³- 6x + 4) + (x² - 3x+6)=7׳ - 6x² + 4 + x² - 3x+6
= 4x² + (-6x² + x²) - 3x + (4+1)
=7x³-5x-3x+10
EX หาผล นาคร 4x - x - 4 ตัว 3x - 2x + 4
(Ax³-3x-6)-(3x² - 2x + 4) = 4x³-3x-6-3x² + 2x-4
=
4x³-3x²-6x-10
การคุณมหนาม
การคุณพหุนามกันเอกนาม นำเอกนาม : ทุกพจน์ของพหุนาม แล้วนำผลลัพธ์ที่ได้มา + กัน
การหาผลคุณสามารถใช้สมบัติตร
1. สมบัติการสลับที่ 4,5,6 แทนจนใด ๆ
ca+bica-by-ca-b>ca+bs
1. สมบัติการเปลี่ยนหมู่ 4, 5, 6 แทนจน ใด ๆ
(a+b) [ca-b) (a + c )] = [(a+b)(a - b)] (a+c)
3. สมบัติการแจกแจง 4, 5, 6 แทนจน ใด ๆ
a
acb+c) = ab + ac
:
(b+c) a = ba + ca
การหาผลคูณของพหุนามในกรณีที่มีตัวแปรมากกว่าหนึ่งตัว
EX จงหาค่าของ CX-Y)
= (x-y) (x-7)(XY)
= (XY) (x² - 2XY + Y)
EX จะหาผลลัพของ ( 6x + 4) t3x + 5)
= x (x²- 2xy + y²) - YCX² - 2XY + Y²)
=
x - 2x y
+ XX-X²Y + 2XY-Y³
= x³-3x² + 3x² - Y³
= 6x (3x + 5) + 4(3x + 5)
18x +30x + 12x + 20
= 18x + 42x+20
EX จงหาค่าของ (x + 1) X - Y) CX * Y)
=
(x + 1) (x - 1)
= x (x² - Y² ) + 1 (x² - Y³)
= x - xx +x - Y
X
4/02/65
17

ページ5:

• การหารมานาม
การหารพหุนามด้วยเอกนาม นำตัวการ : ทุกพจน์ของตัวตั้ง แล้วนำผลหารที่ได้มา + กัน โดยพหุนามตัวการ * 0
EXI
EXA
4X Y
2x
x.3x-x
(2x)(2XY)
=
AX
= 2XY
3x
.
x
x
x
x
การหารพหุนามด้วยพหุนาม
ใช้วิธีตั้งทาง
✗
เป็นการหารลงตัว มี 4x1 : ตัวตัว มี 25 : ตัวหาร มี 1x : ผลการ
=
- x - 3x - 1, x + 0 เป็นการหารลงตัวที่ 2 - 2x - x - ตัวตัว มี 4 : ตัวหาร มี x - 3x-1 - ผลการ
1. เริ่มจนจนของตัวตั้งและตัวหารจากดีกรีมาก - น้อม
2. นำพจน์แรกของตัวหาร : พจน์แรกของตัวตั้ง แล้วเขียนผลการไว้บนบรรทัดเหนือตัวต
=
3. นำผลการตัวแรก : ตัวการ เขียนผลลัพธ์ไว้ใช้บรรทัดตัวตนโดยให้ตำแหน่งบรรพจน์ที่มีเลขชี้กำลังเท่ากันตรงกัน
4. นำผลลัพธ์ที่ได้ไปลบออกแล้วครบจนถัดไปของตัวตั้งลงมาหนีรพจน์ เป็นตัวตั้งใหม่
5. นิพจน์แรกของตัวการ : พจน์แรกของตัวตั้งใหม่ แล้วทำซ้ำขั้นตอนที่ 3 และ 4 จนกว่าดีกรีของตัวตั้งจะน้อยกว่าดีกรีของตัวการ
6. ตรวจสอบค่าตอบ
EX (43x+14x-1)=(2x+9)
(1.) เรียงพหุนามตัวตั้ง ตัวนาง มาก - น้อย
2x + 14x43x-91
(2.) พจน์แรกตัวหาร : พจน์แรกตัวตั้ง
TX
2X +714x + 43x-71
(3.) ผลที่ได้จาก(2.) : 1% ไม่คุณ 2x + 1 = 14x + 13x
7x
2X+114x+43x-71
TX (2x+1)-14x + 63x
(4.) ผลที่ได้จาก (3.) - ตัวตัว : -20% - 1
1X
2X+1 14x43x-91
14X +63X
- 10 X-11
เต่าส่วนของพหุนาม
=
(5.) นำพจน์แรกของตัวการ : 2x ไป : พจน์แรกของตัวตั้งใหม่ : 102 - 1 ได้ - 10
= -20x-91
นามา x ตัวหาร - - 10x - 10 นำมา - - 10x - 11 เหลือเศษ 1
TX-10
2x+114x43x-11
14x+63x
-20X-11
-10 (2x+1)->20x10
1
(14x43x-11)÷(2x+1)=1x-10-1
(4.) ตรวจสอบค่าตอบ
เศษส่วนที่มีตัวเศษหรือตัวส่วน ทั้งเศษและส่วน : พหุนาม ส่วน 40
การบวกและการลบเศษส่วนพหุนาม
ร
ถ้า A, B, C และ D เป็นพหุนาม โดมที่ 2 20 จะได้
5
EX X-Y
2X
x-y
5(x+1)-2x
(X-1)(x+1)
5X + 5Y - zx
(X-1)(x+1)
BX +5Y
การคุณเศษส่วนพหุนาม
A
+-
(2x+1)(x-10)+(-1) = (14x² - 20x + 63x-90) + (-1)
A B
C
A+C
=
=
B และ 8
B
A-C
B
B B
5x-4
EX 3X 2x-1)
=
6XLX2-1)-(5x-4)
2CX-1)
6x3 - 6x - 5x3 +4
2CX-1)
=
งเต
x- เx + 4
2(X-1)
- 14x + 43X - 10 - 1
=14x43x-11
ถ้า A, B,
C และ D เป็นพหุนาม โดยที่ 6 + 0 จะได้ 65
C
AK C
B D
=
BxP
หลักการคูณเศษส่วนพหุนาม
1) เมื่อตัวเศษ, ส่วน มีตัวประกอบร่วม นำตัวประกอบร่วม : ทั้งเศษ, ส่วน
1.) นิยมเขียนผลคูณของเห็นส่วนของพหุนามเป็นเศษส่วนของพหุนามในรูปผลสำเร็จ
18

ページ6:

2X-10
SX 415
4x+2x3 16X +8
EX1 15(x+3)
2
EX2
25x
625x6
2CX-5)
x 5(x+3)
2x³ (2x²+1)
625x
=
15(x+3)
2
=
25x
BC2X+1)
X-5
=
3
=
การหารเก่าสวนนทนา
b
EXT X-1
=
เ
+
x
x-1
-(x-1)
- 17
EXI
X-Y
x'-y'
(X-Y)
3X+3XY
X-Y
(X-1)(x+1)
3XY(X+Y)
(X-1)
=
3XY
LX-432
การทำโจทย
นำวิธีข้างต้นทั้งหมดมาประยุกต์ใช้โดยสมบัติต่าง ๆ ยังเหมือนเดิม
EX จงนาผลบวกของ X-4 และ x
=
3X
10 X-4
+
x(x-4)
3X+7(x-4)
=
XCX-4)
XCX-4)
=
3x+7X-29
10X - 27
XCX-4)
XCX-43
x-1
x
EXi จงหาผลลบายๆ X43 และ 241
=
10x - 29
ส X-4X
=
=
(x-1)(x+1) XCX+3)
(x+3)(X+1) (X+33(X+1)
(X-1)(x+1)-x(x+3)
(x+3)(x+1)
(x²-1)-(x²+3X)
(x+3)(x+1)
x²-1-x²-3x
(x+3)(x+1)
-3x-1
(x+3)(x+1)
น
-3x-1
x+4x+3
15/02/65
- ด้านตรงข้ามมมนากจะยาวที่สุด
'
• รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
- 4 ที่มีมุมใดมุมหนึ่งเป็นมุมฉาก
ส่วนประกอบ 4 มุมมาก
0 = มม ก
ด้าน Ac : ด้านตรงข้ามมุมฉาก
ก้าน BA, BC :
ด้านประกอบมุมมาก
กระฎีบทพีทาโกรัส
A
นิยาม : พท. ของ D จัตุรัสขนด้านตรงข้ามมุมจาก : ผลรวมของพุท จัสตุรัส
มนานประกอบมุมฉาก
c² = a² + b²
• ตรีโกณมิติ
B
ข้าม a
Sin A E จาก
COS A
tan A
หิด
= จาก
=
าม
หิด
=
=
C
a
มุม
0
| 30
45
sin
0
Cos
tan
123
1
03
b
2
1
60 | 90
1
32 -23
√√300
C
a
sin 2 ฝั่งซ้าย
I
cos : ดงขวา
tan sin cos
b
19

ページ7:

0
เส้นขนาน
- เส้นตรง 2 เส้น อยู่ระนาบเดียวกัน ไม่ตัดกัน
// แทนก่าว่า ทานกับ
สมบัติของเส้นขนาน
A
B
D
เมื่อ ' // D
AB // CD
E
G
+7
:
นมแบ่ง
1
•
มุมแบ่งเท่ากัน : ขนานกัน
1
มุมภายใน, มุมภายนอกที่อยู่ตรงข้ามอนข้างเดียวกันของเส้นตัด : ขนานกัน
เส้นขนานและรูป
1. ขนาดของมุมภายใน 6 รวมกัน : 130
2. ถ้าต่อด้านใดด้านนึ่งออกไป มุมภายนอก : ผลบวกของมุมภายใน 4 มุมประชิดของมุมภายนอกนั้น
จุด เส้นตรง ส่วนของเส้นตรง รังสี
1
1. จุด แสดงตำแหน่งต่าง ๆ
.
เน ชื้น - A
EX
2. ส่วนของเส้นตรง มีค.ยาวจำกัด เช่น A
3. เส้นตรง มีค.ยาวไม่จำกัด เช่น
4. รังสี ส่วนหนึ่งของเส้นตรงมีจุดปลายจุดเดียว เช่น
0
สมบัติของมุม
AB
AD
ผม : รังสี 2 เส้นที่มีจุดปลายจุดเดียวกัน เรียกรวม 2 เส้นว่า แขนบธรรม เรียกจดปลายว่า จุดยอดมุม
C
A
B
ม 48 ชาดา รมมีหน่วยเป็น องศา
P
Y = 40° + 76
Y=11
.
การ าเนกชนิดรวม
1. มุมเหลว : 1 - 1 4
1. มุมฉาก = 10°
3. มุมบ้าน - 1 - 17
• ความเท่ากันทุกประการ
:
4. นมตรง = 180°
5.
มุมกลับ
181357
b.
มุมรอบจุดศูนย์กลาง : 360
รูปเรขาคณิต : รูปเท่ากันทุกประการ เอารูปไปทับกันได้สนิทพอดี บางรูปอาจต้องหมุนเพื่อให้ได้มุมที่สมนมกัน
A B - A เท่ากันทุกประการกับ B
มุม : มุมเท่ากันทุกประการ : มุม 12
ความเท่ากันทุกประการของรูป A
มุมนั้นมีขนาดเท่ากัน
รูป 2 รูปที่มีค. สัมพันธ์แนน ด้าน - มุม - ด้าน (ค.ม.ค.) มีด้านยาวเหมือนกันทั้ง 2 คู่ และ มุมในระหว่างด้านคู่ที่ยาวเท่ากันมีขนาดเท่ากัน
รูป 6 2 รูปที่มีศ. สัมพันธ์แนบ มุม - ด้าน - มุม (ม.ค.ม.) มีมุมที่มีขนาดเท่ากัน 2 คู่ และ ด้านที่เป็นแขนรวมยาวเท่ากัน
รูป 4 1 รูปที่มีค. สัมพันธ์แบบ ด้าน ด้าน ด้าน (ด.ด.ด.) มีก้านยาวเท่ากันเป็นคู่ ๆ ทั้งหมดสาม
20

ページ8:

.
สมบัติของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว
A
หน้าจั่ว - 4 ที่มีด้าน 2 ด้านยาวเท่ากัน และมุมที่ฐานมีขนาดเท่ากัน
ดังนั้นจะมีมุมยอด = 170 - ผลรวมของมุมที่ฐาน
สมบัติของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า
4 ล้านเท่า : - ที่มีก้าน 3 ด้านเท่ากัน และผมทุกมุมมีขนาดเท่ากัน - 10
รูปเรขาคณิตทุกค่ายกัน
- รูปเรขาคณิต 2 รูปที่มีรูปร่างเหมือนกัน แต่ขนาดไม่เท่ากัน
สมบัติความคล้ายของรูปเรขาคณิตต่าง ๆ
*
มุม ด
- ด้านประกอบมุมย
*มุมที่ฐาน
แทน าว่า กล้ามกับ
AN
A B
1. รูป 4 ขนาดของมุมที่สมนมกันเท่ากัน ค.ยาวของด้านที่สนามกันเป็นอัตราส่วนที่เท่ากัน เช่น 3 กับ 4, 5 กับ 10, 4 กับ 5
1. รูป 0 ทุกรูปคล้ายกันหมด
3. รูป ) จัสตุรัสทุกรูปคล้ายกันหมด
4. รูป 0 ผืนผ้าทุกรูปเป็นรูปที่ไม่จำเป็นต้องคล้ายกัน
โทมีปัญหาความคล้ายและการนำไปใช้
ตัวอย่าง
ชายคนหนึ่งยืนบนพื้นราบ มองเห็นยอดเสาไฟฟ้าและยอดตึกหลังหนึ่งอยู่ในแนวเส้นตรง
เดียวกัน ดังรูป
ตึกสูง
ถ้าชายคนนี้ยืนห่างจากเสาไฟฟ้า 30 เมตร และเสา
ไฟฟ้าห่างจากตึก 18 เมตร
1. ถ้าเสาไฟฟ้าสูง 16.2 เมตร ตึกสูงกี่เมตร
2. ถ้าตึกสูง 50.4 เมตร เสาไฟฟ้าสูงกี่เมตร
M
วิธีทา
เสาไฟฟ้า
ให้ชายคนนี้ยืนที่จุด M
NO เป็นความสูงของเสาไฟฟ้า
PQ เป็นความสูงของตึก
จากรูป A MNO ~ A MPQ
จะได้ MN = NO
1.
MP
PO
ถ้า NO = 16.2 เมตร หา PO
30
30 + 18
PQ =>
16.2
PO
16.2 x 48
30
= 25.92
ดังนั้น ตึกสูง 25.92 เมตร
2.
ถ้า
30
PQ = 50.4 เมตร หา NO
30 + 18
PQ =
NO
50.4
30 × 50.4
48
M
30
N
18
P
ตอบ
= 31.5
ตอบ
ดังนั้น เสาไฟฟ้าสูง 31.5 เมตร
การหาพื้นที่ของรูปเรขาคณิตสองมิติ
1 สี่เหลี่ยม
1
ด้าน 4 ด้าน เรือ 1 x ผลคูณของเส้นทแยงมุม
กาง×ยาว
0 จัสตรัส
D ผื่นผ้า
นมเปียกปูน
ก้านขนาน
งาน - ครู หรือ
*ผลคูณของเส้นทแยงมุม
0 การท
D รูปร่า
ด้านไม่เท่า
ฐานลง
x
ผลบวกด้าน นานสูง
ผลคูณขอบเส้นทรงม
1 * เส้นเมรมมะ ผลบวกของต้นกิ่ง
2. สามเปลียน
A ใ
A ด้านเท่า
4 ที่รัก ยาวของด้านทั้ง 3
• ฐาน 4 สุข
* ต้น
√(5x(s-α)=(5-b)x(s-c)
a+b+c
3. วงกลม
เมื่อ x = 3.14
พท.
เมล ร
Tr²
เล่นวล วงกลม
2πr
21

ページ9:

รูปทรงเรขาคณิตและสูตรพื้นที่ผิว ปริมาตร
1
ปริม
รูปทรงที่มีฐานทั้ง 2
12 เท่ากันทุกประการ บนระนาบเดียวกัน ด้านข้างแต่ละด้านเป็นรูป มุมฉาก
เราจะเรียกชื่อปริซึมแต่ละแนนตามฐาน
• ปริมาตร : พท.ฐาน : ก.ล.
พท. ผิวขาว ค.ยาวเล่นรอบทาน : ก.ส
พท. ผิวทั้งหมด
พระมิด
ป
D
ฐาน, จาก
-านช้า
ส่วนสูง
D
พท. ผิวข้าง + พระฐานบนและล่าง : พท. ผิวข้าว +2 (พท.นาก)
รูปทรงที่มีฐานเป็นรูปเหลี่ยมใด ๆ ด้านข้างทุกหน้าเป็นรูป A ที่มียอดแหลมร่วมกัน
หมวกแหลมไม่อยู่ระนาบเดียวกันฐาน
พีระมิดจาน
ปริมาร
พท.ด่านทาง
* ค.ยาวรอบฐาน x เขียว
พท.ผิวทั้งหมด
มท. ผิวข้าง 4 มท. ฐานการ
ทรงกระบอก
จุดพบลด
าแข่
สวยง
ฐาน
รูปทรงที่มีฐาน ฐานเป็นรูป 0 ที่เท่ากันทุกประการ อยู่บนระนาบที่ขนานกัน
1
มีหน้าตัดเป็น 0 % ฐานสมอ
ฐาน, ก
ปริมาตร
พท.ทาน *สร
Tirth
กรวย
พท. ผิวาว
ก.ยาวรถมาขอรวมกลม * ส 2πrh
m.ผิวทั้งนมด พท. ผิวช้าง + บท 1. ฐานทั้งสอง : Inth + Tr
2πrch+r)
รูปทรงที่มีฐานเป็นรูปวงกลม มียอดเขลมที่ไม่อยู่ในระดานเดียวกันกับฐาน
และเล่นต่อระหว่างจุดยอดกับจุดใด ๆ บนขอบของฐานเป็นส่วนของเส้นตรง
1
ปริมาตร
พท. ผิวข้าง
พท. ผิวทั้งหมด
ทรงกลม
3 * มท. ฐาน 3
1 x ค.ยาวรอบฐาน : สงเขียว
1
227rx πrl
h
พท. ผิวข้าว + พท. ฐาน: Turl + Tr
เ
ทรงกรวย
Mir (1+r)
จุดบอด
สง
รูปทรงที่มีผิวโค้งเรียน และจุดทุกจุดบนผิวโค้งอยู่ห่างจากจุดนั้นเป็นระยะเท่ากัน
ปริมาตร
3 πr'
• มก. ผิว
4
4πr²
ทรงกลม
- วงกลมใหญ่
- เส้นผ่านศูนกลางจากคนใน
จุดศูนกลาง
รัศมี
ฐาน
ทรงกระบอก
TIP : หลักการจําสตร์
1. การหาปริมาตรของรูปทรงจะใช้ระยะของสงครมเสมอ การหาพุท 1. ผิวจะใช้ระยะสูงเขียงเสมอ
2. ถ้าฐานบน และฐานล่างเท่ากัน - ระยะของสงครมและส่งเสียงจะมีค่าเท่ากันเสมอ
3. สูตรหาปริมาตร มท. ผิวบ้าง กับสูตรหาปริมาตรม. ผิวขนมราษฎรรูปปริซึม และรูปพีระมิดคือสูตรเดียวกัน
22