排列組合與機率：樂透號碼之數學分析！
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Senior High All
*本文純屬個人興趣研究，如果您只是學生，
請記得未滿18歲請勿購買彩券。
排列組合與機率分析樂透：
本文介紹關於數字型樂透「今彩539」
台灣最有名的彩券遊戲，
也是難易度很高的猜數字遊戲！
非常不好中~ 一年能猜中一次「三合」，
就要謝天謝地了。
最愛17號，有開它就很高興。
~猜數字，是一門最大的學問，即使您的數學天賦再高，也不可能100%準確預測下期號碼。所以我認為世界上最難的數學題目，不是什麼猜想，而是告訴我：下一期的頭獎號碼是哪一組？
如果可以預測，你早就可以成為億萬富翁~
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警語:以下內容僅討論數學排列組合與機率分析,未成年禁止購買彩券。這只是統計理論,請勿過於相信而下注。 筆者要介紹的是「今彩539」,是台灣彩券的其中一種樂透遊戲,玩法介紹如下: 今彩539是一種樂透型遊戲,必須從01~39的號碼中任選5個號碼進行投注。 開獎時,開獎單位 將隨機開出五個號碼,這一組號碼就是該期今彩539中獎號碼,也稱為「獎號」。五個選號中,如有 二個以上(含二個號碼)對中當期開出之五個號碼,即為中獎。各獎項的中獎方式如下表: 獎項 中獎方式 頭獎 與當期五個中獎號碼完全相同者 貳獎 對中當期獎號之其中任四碼 參獎 對中當期獎號之其中任三 肆獎 「對中當期獎號之其中任二碼 中獎方式圖示 中獎率 1/575,757 約1/3,387 約1/103 約1/10 中獎率算法: (39顆號碼當中,有5顆是中獎號,其餘34顆都是沒中的號碼。) 1 1 C³× C34 P(頭獎): = = C39 -575757 P(貳獎) = C39 ㄨ C³× C³4 5610 1 P(參獎)= ㄓ , C39 575757 103 P(肆獎) = 這樣就可以順便知道,沒中獎的機率是 1-P(中獎): =1- 1+170+5610+59840 575757 其中,沒中獎可以分成兩種情況: 170 1 AC 575757 3387 C₂ × C34 59840 1 C39 5 575757 10 171292 ≥88.60% 191919 C5 × C34 231880 278256 P(恰中1顆) = = =40.27%,P(全不中) = = ≥48.33% C39 575757 C39 575757 一樣的方法,都可以計算大樂透(496+特別號)、威力彩(386+第二區8選1)等數字型樂 透遊戲的中獎機率。 今彩539的一注是新臺幣50元,而獎金由高到低分別是800萬、2萬、300元、50元。另外, 頭獎跟貳獎都要扣稅,意思就是獎金要×0.796,例如中頭獎800萬,實際拿到剩6,368,000元。 所以隨便買一注的結果(指電腦選號或是自己亂填),可以想像10次有9次都是摃龜(沒中),而且就 算有中,大概就是中兩顆的50元回本,沒賺到任何獎金。 或許讀者可能覺得中兩、三顆沒什麼用,但是在「39樂合彩」,中兩顆的獎金是1,125元(一注 是25元,賺1,100元),中三顆的獎金有11,250元(一注是25元,扣稅後賺8,930元)。我們先看 39樂合彩的玩法介紹: 「39樂合彩」係以「今彩539」開出獎號為中獎獎號之電腦型彩遊戲,玩法有3種,分別為二 合、三合及四合,每種玩法皆獨立銷售,獎金池亦各自獨立。您從01到39的號碼中依不同玩法之規 定分別任意選出2、3或4個不相同的號碼。您所選的2、3或4個號碼,如完全對中開獎當日今彩 539開獎號,即為中獎,並可依規定兌領獎金。39樂合彩所有獎項皆為固定獎項,各玩法之中獎方 式與獎金倍數如下表: 玩法 中獎方式 二合 對中同期今彩539獎號之二碼 三合 對中同期今彩539號之任三碼 四合 對中同期今彩539號之任四碼 玩法 固定獎金倍數 二合 X45 三合 X450 四合 X8500 中獎方式圖示 單注獎金(以每注25元計算) $1,125 (特別活動時加碼至$1,500) $11,250 $212,500 中獎率 約 1/74 約1/914 約1/16,450
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舉個例子說明:假設今天今彩539開獎號碼是「1115222534」,那麼: 二合的中獎方式有C2=10種,例如「11 22」就是一組中獎的39二合。(選二要中二) 三合的中獎方式有CŞ =10種,例如「112225」就是一組中獎的39三合。(選三要中三) 四合的中獎方式有C=5種,例如「11 15 22 34」就是一組中獎的39四合。(選四要中四) (註:二合只中一個沒有獎金,三合只中一或二個也沒有獎金,四合同理。) 中獎率算法: C₂ 10 1 = ˙C39 - 741 P(39二合) = C P(39三合): = P(39四合): = = :74 9 10 1 = 914 5 C39-9139 C = C39-82251 1 16450 這就是為什麼,5顆中3顆在今彩539只有300元獎金(機率約102分之1),但是在39樂合彩 的三合中卻高達11,250元(機率約914分之1)。 914分之1看似機會很渺小。不過,如果考慮採取「包牌」下注法,比方說今天今彩539所選 的5個號碼是「01 15 22 25 39」,除了投注今彩539外,再順便把39三合的所有組合都各下1 注,即可計算包牌成本是50+10×25=300元,而開獎號碼如果是「1115 22 25 34」,發現中了 三顆號碼(15、22、25),即可計算獲得的獎金是300+11,250×0.796=9,255元(註:三合和四合獎 金也要被扣稅。) 再扣掉成本300元(1注今彩539+10組39三合),可賺8,955元。事實上,透過包牌下注 法,中三合的機率同時也被提高到了102分之1。這暗示著,買今彩539彩券時,如果當天運氣好 一次中3顆,當時有順便一起買三合所有組合(10組也才250元,不加倍的情況下),就可以同時獲 得三合的獎金,會比起300元還多更多。 「包牌」下注法當然也可以用在今彩539,比方說選6個號碼,這樣可以產生C=6組的組合, 選7個號碼,可以產生C=21組的組合,依此類推。不過要注意,選的號碼越多,包牌成本越 大。以下為包牌成本參考表: 選號數 總注數 總投注金額 選號數 總注數 總投注金額 6 6 300 12 792 39,600 7 21 1,050 13 1287 64,350 8 56 2,800 14 2002 100,100 9 126 6,300 15 3003 150,150 10 252 12,600 16 4368 218,400 11 462 23,100 可以發現總注數=Cfx為選號數。總投注金額就是總注數×50。
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接著我們來討論「連莊」事件。先看這張歷年獎號分布表: 111013 01-15 27 33 111014 01-17 01 22 24 111015 01-18 101 16 19 26 38 111016 01-19 09 15 17 26 38 111017 01-20 03 31 33. 35 38 111018 01-21 13 17 187 35 39. 111019 01-22 111020 01-24 06 05 27 29 32 38 11 |24 30 38 111021 01-25 081 19 20 24 111022 01-26 12 22 29 30 111023 01-27 03 09 24] 34 35 111024 01-28 2011 161 201 30 31 111025 01-29 08 12 18 23 38 111026 01-31 05 $ 17 33 38 111027 02-01 17 20 22 38 39 111028 02-02 14 15 19 22 25 111029 02-03 09 12 25 35 139 111030 02-04 06 15 (19 23 39 111031 02-05 01 02 12 19 34 111032 02-07 100 20 31 34 38 111033 02-08 081 11 19 23 34 111034 02-09 02 11 17 18 38 111035 02-10 12 14 35 38 111036 02-11 (14 29 35 38 39 111037 02-12 04 07 11 21 22 111038 02-14 09 147 21 111039 02-15 05 09 111040 02-16 05 22 23 34 33 30 (111013期~111040期 資料來源:樂透堂) 連莊的定義是指連續期數中開出同一個號碼的情況,例如: 111013期:「14 21 27 32 33」,111014期:「01 22 24 33 36,33號重複出現(也就是連莊)。 111015期:「01 16 19 26 38」,111014期:「09 15 17 26 38,26號、38號兩顆號碼連莊。 基本上每一個獎號都有機會連莊,且機率是相等的。下表给出了連莊的機率: 連莊期 機率 無連莊 約85.3% 約12.8% 約1.6% 連1 連2 連 3 連4 連5或以上 約0.2% 約0.027% 約 0. 003% 怎麼計算1的機率是12.8%?很簡單,我們以剛剛的33號連莊為例子。假設下一期有出現 33 號,那33號就是成功連莊,而其餘4顆獎號任選,所以機率是 38×37x36x35 1×C38 _4×3×2×1 = 39 C5 39x38x37x36x35 5 39 = 12.8% 5×4×3×2×1 3 5 那麼連2的機率就是 =1.6%,連3的機率就是 ≥0.2%,… 至於對每一個獎號而言(例如33號),發生無連莊的機率是(利用無窮等比級數求和): 5 2 3 5 5 1- 39 39. 5 39. 39 29 -…=1- ≥85.3% 1- 5 34 39 讀者可以發現,連莊事件發生的很頻繁。我們可以參考下表研究同一期的連莊顆數: 0 約48% 約40% 2 約10% 3 4 5 約1/103 約1/3,387 1/575, 757 連莊顆數 機率 這些機率數值很眼熟,因為恰好與今彩539中獎率是一模一樣的算法。
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可以推算現每期獎號中約有52%的機率會發生至少1顆連莊的情況,這就是為什麼連莊是很 常見的事。有人說,與上一期簽同一組號碼是不明智的下注法,筆者認為,如果要拚頭獎這確實是 不明智的(至少你要修改1~3個號碼),因為這就跟五連號一樣了。但是往往卻有很大的機會中 1~2顆甚至3顆,尤其是很久沒出現莊事件的時候更容易中獎(不論獎項大小的話)。 我們根據獨立事件的機率算法,可以計算出「連莊連續發生」與「連莊連續不發生」的機率表: 連莊連續發生次數 1 2 3 4 5 6 7 機率 26.7% 13.8% 7.1% 3.7% 2% 1% 0.5% 連莊連續不發生次數 機率 1 2 3 4 5 6 23.4% 11.3% 5.5% 2.6% 1.3% 0.6% 7 0.3% 簡單說明一下算法,已知至少1顆連莊(5顆中有任何1顆連莊)的機率是 C34 1- ≥51.67% 所以連莊連續發生1次的機率就是 1- (一) C342 = 26.7%,依此類推。 而連莊連續不發生次數之機率就是用 的次方生成。 舉個例子說明: 111022期:「12 22 29 30 36」 111023期:「0309 24 34 35」 111024期:「01 16 20 30 31」 111025期:「08 12 18 23 38」 發現已經連續3期無連莊發生,如果下一期再不連莊,機率約2.6%,這機率很小,所以可以預 測下一期可能至少有1顆會連莊。 111026期:「05 16 17 33 38」,恰好有一顆38號連莊。 讀者可以注意到,111036期出現了恰3顆連莊,這並非不可能,因為機率就是約103分之1。 每一年大約會開出313或314期的今彩539中獎獎號,以期望值來說,每年可以期待有3次恰3 顆連莊的事件會發生。112年已經發生2次(分別是1月16日跟2月22日),那麼第3次發生在年 末前是可以預期會發生的。 接下來我們討論剛剛提到的「五連號」。連號的定義,是指同一期獎號中有開出連續號碼的情 況,例如111023期:「0309 24 34 35」, 34 35就是連續的兩個正整數,這種情況稱為二號,所 以像 01 02 03 就是三連號。所謂的五連號,比如當初媒體大肆報導的「29 30 31 32 33」這組破 天荒在今彩539首次開出的五星連珠。以下我們就來討論這些連號的機率該如何計算。相信讀者在 學習排列組合的時候,幾乎會遇到「相鄰」與「不相鄰」這種令人頭痛的題目,我們先看5個獎號 的各類情況所提供的機率表: 情況 無連號 恰一組二連號 恰兩組二連號 恰一組三連號 一組三連號+一組二連號 機率 約 56.4% 約36.4% 約 3.4% 約 3.4% 約1/484 四連號 五連號 約1/484 約1/16450
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無號的情況,就是指39個號碼中,所開出的5個獎號皆不相鄰。那麼,遇到這種不相鄰的問 題,我們可以採取插空隙的算法,我們先把34顆沒中的號碼由小到大排列,僅1種方法,所以這樣 就可以產生出35個空隙,因此我們只要把這5顆中獎號隨機插入這些空隙(1個空隙只能塞1顆), 就可以算出來了: 324632 P(無連號) = ≒56.4% C39 575757 這樣就可以算出至少有兩顆連號(相鄰)的機率是 C35 251125 P(至少有一組二連號)=1-- = 43.6% C39 -575757 事實上43.6%已經算高的機率(但是長期來看,連莊事件會比較頻繁),所以連號經常發生也是 很正常的 9 8 2 3 6 18 (17 18 29 32 38 25 36 23 16 19 23 36 11 12 27 30 38 38 38 1 7 31 19 21 13 15 18 22 24 | 15 16 13 13 15 17 22 17 25 26 28 31 25 26 27 28 37 32 35 38 39 34 27 30 31 39元 56 16 31 34 9 12 16 28 37 23 24 32 37 (112024期~112039期 資料來源:樂透堂) 透過同樣的計算手法,我們可以計算表格的每一種情況的機率: (註:插空隙時,如果同一個空隙插入2或以上的球,因為今彩539的獎號一律都是由小到大排 列,所以我們就不必像2人排相鄰一樣,還要乘以2!。比如2526號,這裡不考慮2625 此排 法。) C35 × C34 209440 P(恰一組二連號)= = = = 36.4% ¥39 575757 號,再從剩下的34個空隙選3個各塞入1顆獎號(無順序問題)) (選1個空隙放二 另一種想法: C5×C C39 209440 575757 (先選4個空隙出來,然後從這4個空隙中選1個放二號,剩下3個空隙塞入1顆獎號) P(恰兩組二連號)= = P(恰一組三連號)= = C35 × C3³ 19635 ≥3.4% 575757 (選2個空隙各放一組二連號(無順序問題),再從剩下的33個空隙選1個塞入1顆獎號) C35 × C34 ㄨ C39 19635 575757 = 3.4% (選1個空隙放三號,再從剩下的34個空隙選2個各塞入1顆獎號) 很巧的是,發生「恰兩組二號」與「恰一組三連號」的機率是相等的。
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例如「01 05 063738」就是一組恰兩組二號(四連號不算在此情況),「0412 13 14 22」 就是恰一組三連號(另外的兩顆不能是二號),這樣的兩種情況發生機率是一樣的。 P(一組三連號+一組二連號)= C35 × 2! 1190 1 = ≥ 0.21% C39 575757 484 (選2個空隙,1個放三號,另1個二號,所以要乘以2!) C35 × 2! 1190 P(四連號)= ㄓ C39 1 575757 484 = 0.21% (選2個空隙,1個放四號,另1個塞入1獎號,所以也要乘以2!) 最令人注目的是五連號,距今在今彩539歷年獎號中,也僅此發生過一次 29 30 31 32 33。 35 P(五連號) = 575757 1 16450 =0.0061%(這機率跟39四合中獎率一樣,非常難中) 有人想要簽 01 02 03 04 05 看似搞笑的號碼,也不是不行,因為不論你簽575757 組中的哪一 組,中頭獎都是575757分之1,只是五連號平均52~53年才會出現一次,這顯然告訴我們簽五連號 是非常不明智的。這就是為什麼有些人看到電腦選號給一堆號,都會直覺性認為根本不會中,要 求彩券行換新的一組(這是可以的,原本那組可以選擇作廢或一起買下), 筆者認為,就算真的想簽牌,還是少簽連號為妙。即使你知道連續好幾期沒出號,下一期就 有很大的機會會開出號,但是,光是二號的組合就有0102、0203、、3839,多達38組的 可能,並沒有所謂的公式可以100%準確預測號出現位置,所以連號法大多數會被使用在39三 合中,見下例: 情況a. 假設你很有信心抓出兩個可能會一起開出的號碼,例如同8尾(尾數分析法後面會介 紹)的「0818」,同時又觀察到好幾期沒開出號,這時候就可以考慮這兩支號碼的連號組合: 「07 08 18」、「08 09 18」、「08 17 18」、「08 1819 有這四組的可能。 情況b.假設這38組二號中,有一組二連號已經至少200期沒出現了(例如0304),但是根 據39二合的中獎機率來看,理論上平均74期就會出現1次(期望值觀點)這種組合,所以選號時就 可以考慮納入這組連號。 接下來介紹「頭數分析法」。今彩539中,頭數分析法是一種簡單的四分區域分析法,將01~39 依十位數進行區分為:01-09 為0頭,10-19為1頭,20-29為2頭,30-39為3頭。 所以除 了 0 頭只有9 個號碼,其餘皆為10個。以112115期~112135期之頭數統計表為範例: 112115 2023-05-15 05 06 07 08 24 0 112116 2023-05-16 13 25 27 36 38 0 1 2 112117 2023-05-17 05 11 14 30 38 1 2 0 2 112118 2023-05-18 08 20 32 34 36 1 0 1 112119 2023-05-19 16 27 33 34 36 0 1 1 ... 112120 2023-05-20 01 10 24 28 34 1 1 2 1 112121 2023-05-22 10 15 25 31 39 0 2 1 2 ... 112122 2023-05-23 10 14 34 35 38 0 2 0 112123 2023-05-24 08 10 16 21 34 1 2 1 1 112124 2023-05-25 14 16 18 20 33 0 1 1 ... 112125 2023-05-26 06 07 13 22 29 2 1 2 0 112126 2023-05-27 01 18 24 25 39 1 1 2 1 112127 2023-05-29 01 10 14 27 37 1 2 1 1 112128 2023-05-30 05 12 15 20 21 1 2 2 0 112129 2023-05-31 05 06 07 34 36 0 0 2 112130 2023-06-01 08 18 25 27 34 1 1 2 1 112131 2023-06-02 04 08 09 22 37 0 1 1 112132 2023-06-03 03 07 13 23 34 1 1 1 112133 2023-06-05 201 05 16 20 29 1 2 0 ... 112134 2023-06-06 11 18 26 29 37 0 2 2 1 ... 112135 2023-06-07 03 07 08 11 29 1 1 0 ... •⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀
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以下我們針對 0 1 2 出現機率做機率表: 0頭 1頭、2頭、3頭 0 約 24.8% 約20.6% l 約 42.8% 約41.3% 2 約 25.4% 約 28.5% 約 6.3% 約8.5% 4. 約0.6% 約1% 約1/4570 1/2285 例如:0頭出現0顆,就表示5個獎號都大於等於10,所以機率就是 174 P(0頭=0顆): == = = 24.8% C39 703 其餘事件的機率算法都是類似的。 但是筆者認為,比起頭數分析法,「尾數分析法」或許是更有效率的。 尾數就是指只看每一個獎 號的個位數,可區分成0尾、1尾、2尾、、9尾共十種尾數。例如 04 14 24 34 這四個獎號 皆為 4 尾。注意到今彩539 獎號中,只有尾是3個(102030),其餘尾皆為4個。如此一 來,便可將 39 個號碼細分成十組,在進行下一期獎號分析時會比頭數分析法更佳。 以 112001 期~112027期之尾數統計表為範例: 期號 112001 開獎日期 開獎號碼 重復尾數 ○ 尾1 民2 尾3 尾4 尾5 尾6 尾7 尾8 月9 2023-01-02 08 10 25 12 06 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 112002 2023-01-03 14 12 34 30 25 4尾(2) 1 0 1 0 2 1 0 0 0 0 112003 112004 112005 112006 112007 2023-01-04 29 08 31 36 18 2023-01-05 17 26 39 36 29 2023-01-06 30 38 10 35 39 2023-01-07 06 08 30 23 03 2023-01-09 06 34 30 31 13 8尾(2) 0 1 0 0 0 0 1 0 2 1 6尾(2),9尾(2) 0 0 0 0 0 0 2 1 0 2 0尾(2) 2 0 0 0 0 1 0 0 1 1 3尾(2) 1 0 0 2 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 112008 112009 112010 112011 112012 112013 2023-01-10 22 02 18 29 08 2023-01-11 34 31 23 26 35 2023-01-12 29 26 03 37 14 2023-01-13 26 09 | 31 04 29 2023-01-14 29 12 23 08 04 2023-01-16 29 07 12 04 11 2尾(2),8(2) 0 0 0 0 0 0 0 2 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 9尾(2) 0 1 0 0 1 0 1 0 0 2 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 112014 2023-01-17 39 06 04 26 28 6尾(2) 0 0 0 0 1 0 2 0 1 1 112015 2023-01-18 12 34 39 18 06 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 112016 2023-01-19 01 12 34 03 28 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 112017 2023-01-20 15 19 25 05 06 5尾(3) 0 0 0 0 0 1 0 0 1 112018 2023-01-21 12 08 28 35 14 8尾(2) 0 0 1 0 1 1 0 0 2. 0 112019 112020 2023-01-23 13 22 14 04 2023-01-24 06 08 12 2尾(2),4尾(2) 0 0 2 1 2 0 0 0 0 0 16 | 19 31 6尾(2) 0 1 0 0 0 0 2 0 1 1 112021 2023-01-25 20 19 05 01 15 5尾(2) 1 1 0 0 0 2 0 0 0 1 112022 112023 112024 112025 112026 2023-01-26 36 12 2023-01-27 24 02 19 16 27 2023-01-28 32 18 38 29 09 2023-01-30 25 36 17 18 08 2023-01-31 06 38 03 23 02 33 06 10 6尾(2) 1 0 1 1 0 0 2 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 8尾(2),9尾(2) 0 0 1 0 0 0 0 0 2 2 8尾(2) 0 0 0 0 0 1 1 1 2 0 3月(2) 0 0 1 2 0 0 1 0 1 0 112027 2023-02-01 19 16 23 36 6尾(2) 0 0 0 1 0 0 2 0 1 1 讀者可以注意到,因為0尾只有3顆,所以這一行掛0的機率要比其他尾數來的高。 以下為0 2 出現之機率表: 0尾 其餘尾 0 約65.5% 約56.4% 1 約 30.7% 2 約 3.7% 3 約0.1% 約 36.4% 約6.8% 約0.4% 4 0% 約1/16450
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透過排列組合與機率來分析樂透 ☆排列組合與機率的實際運用之一,就是「彩券」。 今彩539 - 前言(可略過):或許讀者可能覺得學高中數學沒什麼用,因為實際生活中確實很少需要使用三角 函數或微積分等艱深的數學知識, 講直白一點就是「我只是為了考試而讀」、「我買東西頂多就用到 加跟減而已吧」、「拿計算機按一按不就好了,何必學心算?」…等。 筆者認為,這樣的想法並沒有對錯,因為不是每個人都有興趣學數學,甚至排斥它。老實說, 筆者當然也有一樣的想法,我很排斥國文與英文,所以我就跟討厭數學的人一樣,根本不讀那些科 目,相對的花費更多時間在讀數學,所以容易取得了極端成績。比如筆者有一次考了 「國文19數學 91」這種成績,筆者的朋友都覺得很好笑,覺得很佩服這種讀書方法,筆者自己 都覺得很搞笑,但是覺得很有意思。 不過,筆者現在當然不建議學生這麼做。想要當「學霸(全科都很強)」,我相信這很難,可能一 天讀個8小時跑不掉,心很累(盡力而為即可,不要把自己逼得很緊)。那麼「單科強其他科弱」或 「全科維持平均」,筆者會建議當後者。因為當前者有風險,一是萬一很強的單科在重要的大考表現 失常,加上又沒有其他科的加持,可想而知是跌慘。這就跟賭局一樣,你認為這把牌很大,很有信 心的賭上所有籌碼,認為不可能會輸,殊不知對方的牌竟然就這麼剛好大了你一些,一瞬間全輸。 二是其他科不維持平均以上,很容易被當甚至被留級,非常不妙。這樣看來當然就不建議這麼做。 不過也並不是完全說不能當單科強其他科弱的這類人,前提是你能長期維持取得幾乎滿分的成績, 成為單科第一,同時其他科死也要想辦法不被死當就對了。而這一類的人容易往往被關注。 (註:這情況應該是普通高中會常常發生的,名校高中就不那麼明顯了。) 舉個例子來說好了,模擬考成績公布了,大家最先關心的是第1名吧?筆者懂,這是人之常情。 其次是單科表現,「15級分」跟「14級分」都已經是高分的成績了,沒想到,大家都只注意到了15 級分,紛紛表示贊同。沒辦法,因為這就是現實,只能認命了。就像這一頁中,只有「可略過」是 紅字粗體,然後讀者看到前言好多字,可能沒有讀小說的習慣,不看了。咦?看到可略過,我直接跳 過這一頁看看後面在寫什麼好了。 前面提太多外話偏題了。筆者想表示的是,如果你不想只當平均值,剛好你有很強,又可 以點滿這個技能的話,那麼不妨試一試這種讀書方法(必有利弊,請讀者自行衡酌),或許會有不一 樣的人生階段。 筆者提到自身是研究高中數學為主,大學數學現今較少接觸(頂多剩微積分跟微分方程有研 究),要我說現實中最有用的高中數學單元(數與式、多項式函數、指對數函數、…等20幾個單 元),那筆者會選排列組合+機率,因為真的有用。前面提過,現實是如此殘酷,自從台灣彩券發行 以來,的確造就了許多億萬富翁。筆者先不論台彩是否造假,或是那些頭獎得主的真實性,單就 「彩券」而言,讀者是否想過,如果有機會(已知中獎機率不是0,是大於0的正數但是很渺小)可 以改變人生,實現逆轉勝,用小小的金額買個希望,沒中當作公益,會想要嘗試買一下嗎? 這個問題很有意思。有些人認為自己運氣差,覺得自己買了才不會中,屬於不買的人。有些人 則是覺得,有機會就買,反正金額不大(正所謂麻將中小賭怡情,大赌傷身,一樣的道理),嘗試一 下又沒什麼損失,甚至有些人很迷信,到處拜神明求明牌或自己抓牌(也就是無科學根據的算牌 術),屬於會買的人。以下我們完全不用到很玄的方法,我們只用高中的排列組合和機率,很數學式 地討論各類情況的事件,以及筆者的數學推算方法。 筆者小提醒:成年要買彩券可以,花小錢做公益不反對。請衡量自身財力,切勿投注太多,換來的只是更多失望。
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例如:「16 19 233638」發生6同尾2顆,記為6尾(2)。 那麼,假設5個獎號中,有發生6尾(2)的機率,計算方法為從06162636任選2顆,再從剩下 的35顆選3顆,機率是 P (6尾(2)) = 2 × C35 39270 ≥6.8% C39 575757 同樣的方法,我們也可以算出 P (m尾(3)) = C3 × C35 2380 =0.4%,P P(n尾(4)) = C4 × C35 35 1 C39 575757 C39 575757 16450 其中n=1,2,......。至於0尾(2),0尾(3)的機率也是類似的算法。讀者又可以發現,發生n尾(4) 的機率竟然跟五連號一樣。這機率告訴我們,5個號碼中出現3個同尾數(機率約為242分之1)其實 已經很少見了,更別說是4個同尾一起出現了。 仔細觀察尾數統計表,可以發現似乎常常發生同尾事件。事實上,我們可以用排列組合先計算 今彩539的5個獎號中,皆不同尾的情況。因為剛剛提到,只有0尾是3顆,其餘尾皆為4顆,因 此,我們可以分別算出: n(不同尾)=n(不同尾n有10尾)+(不同尾n無尾) =C?×4*x3+C?×45=225792種 除以總數 575757就是發生不同尾的機率,因此可得機率表: 情況 皆不同尾 有同尾 機率 約 39.2% 約60.8% 這就說明了,每一期發生同尾的機率高達60.8%。 各種情況之參考機率表: 情況 情況 機率 1x5 225792 約39.2% 1 x3、 2 x1 282240 約49.0% 1 x1、 2 x2 45360 約 7.9% 1 x2、 3x1 20160 約3.5% 2 x1、 3x1 1890 約 0.3% 1 x1、 4x1 315 約1/1828 合計 575757 100% 皆不同尾的情況數我們已經算出來了,我們可以計算恰2顆同尾的情況數: 9 n(恰 2 顆同尾) = n(0尾(2) n其餘3顆不同尾)+2n(k尾(2)且其餘3顆不同尾) CA ×(CiC°×42+C3×43) k=1 = C2 ㄨ C? x43 +9x 0尾選2顆 選3種尾數,每一種各1顆 同尾4選2 有1顆0尾 無0尾 = 282240 利用同樣的計算手法(注意0尾有3顆,其餘尾有4顆,所以基本上都要討論有無尾,再把情 況相加起來),就可以算出表格中的每一種情況,且情況合計為575757種。
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C0000 SET I NEWS 今彩539 開獎實況 開獎過程由 會計師全程見證 C 15 25 360204 掃描下載 台彩APP 20:33:35 沃爾瑪Q1銷售超預期 執行長警告漲價勢在必行 第114000119期 We 39 HER 水 公益彩资 40986 72125 30870 07744 17472 68549 01 開獎日期: 114/05/15 期別: 114000119 計1期 2) 三合 02 04 25 25 ---- 公益 總金額: NT$150 銷售日期:114/05/15 16:54:09 投注機#: 251148351 經銷商: 25114035 $25X6 WID: 101092736958 16695262052132093827 16553 | 滿十八歲者不得購買或兌領彩券
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m 今彩539 23 24 28 30 31 第113000038期 今彩539 開獎實況 開獎過程由 會計師全程見證 ahco 24 30 28 23 31 全民彩券 20:42:17 打入年輕市場 大山脚 初五好天氣日夜溫差大 初六北 02/13(火) 歲者不得購買或兌領彩券 ·中獎獎 We fare mily 今彩539 06695 7003121474836590167805761 01 公益彩券 勝, 中獎獎金應於開獎日 18013 43988 00003 76832 10933 99982 01 開獎日期: 113/02/13 期別: 113000038 計1期 479988 開獎日期: 113/02/13 期別: 113000038 計1期 1) 二合 17 24 -- $25 起 (2)三合3031 -- $25 1) 07 17 24 30 31 $50 - $25×2 總金額: NT$50 銷售日期:113/02/13 12:42:51 台投注機#: 251148181 經銷商: 25114018 WID: 1001233878782712185642342782973913889+ (3)含243031 彩券 熱話總金額: NT$100 13/02/12 銷售日期:113/02/13 12:43:01 熱線 投注機#: 251140181 經銷商: 25114018 WID: 100123389305 13175389121666481791 41879
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23 98 の記 ˙14) 112000223期 C 14 36 03 21 23 D · 未滿十八歲不得 頭 黑® ANSW 歲 00666009600210108416115893361450022 開獎日期:112/09/18 期別:#112000223計1期 二合21 36 $25X7 或 機率 2) 三合 14 21 36 ::約1/914 商:ź415-05 投注機:241520051 00012824 TR:0002009177 06265442131851640969 $25X2 中獎獎金應於開獎日之萬 66 起三個月内 (2). 未 未
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