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数学Ⅱ 2節 2次方程式
【解と係数の関係(2)】 まとめ
2次式の因数分解
ax2+bx+c=0の2つの解をα, βとすると
ax2+bx+c=a(x-a)(x-β)
2数を解とする2次方程式
2数α,βを解とする2次方程式の1つは, a + β = p, aβ = q とすると
x²-2x+9=0

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【 教科書 32 】
(1)x2-x-1=0を解くと, x=
問21 次の2次式を、 複素数の範囲で因数分解せよ。
(1)x2-x-1
(3)x2-5
(2)3x²-2x+1
(4)x2 +4
1±√√(-1)2-4・1・(-1) 1±√5
1+√5. 1+√5
2
したがって x2 -x-1=(x- -)(x+-
2
2
-(-2)±√(-2)^-4･3･11±√2i
(2)3x²-2x+1を解くと, x=
2.3
3
したがって 3x²-2x+1=3(x_1+√2F(x_1-2)
3
3
(3)x2-5を解くと, x=±√5
したがって x^-5 =(x+√5)(x-√5)
(4)x2 +4 を解くと, x=±√-4 = ±2i
したがって x2 +4=(x-2i)(x+2i)

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【教科書 33 】
問224 次式x4-x2-6を,次の範囲で因数分解せよ。
(1) 有理数の範囲 (2)実数の範囲 (3) 複素数の範囲
(1)x2 = A とおくと x4x2-6 = A2-A-6
=(A+2)(A-3)
(2) (1)より
(3) (2)より
=(x2+2)(x2-3)
x4 - x2 -6 = (x2 + 2)(x2-3)
-
=(x²+2)(x+√3)(x-√3)
x4 - x2 -6 = (x2 + 2)(x+√3)(x-√3)
=(x+√2i)(x-√2i)(x+√3)(x-√3)

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【教科書 33 】
問23 次の 2 数を解とする2次方程式を1つ求めよ。
(1) 1, -2 (2)2+√5.2-√5
(1) 2数1, -2を解とする2次方程式の1つは
a + β=1+(-2)=-1,
であるから
つまり
x²-(-1)x-2=0
x2+x-2=0
(3) −5+i, -5-i
aβ=1×(-2)=-2
(2)2数2+√5,2-√5を解とする2次方程式の1つは
a+β=(2+√5)+(2-√5) = 4, αβ = (2+√5)(2-√5)=-1
であるから
x2-4x-1=0
(3) 2数-5 +i, -5-iを解とする2次方程式の1つは
a+β= (-5+i)+(-5-i)=-10, aβ= (-5+i)(-5-i)=26
であるから
つまり
x²-(-10)x + 26=0
x2 +10x + 26 = 0

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【教科書 34 】
問23 和と積が次のようになる2数を求めよ。
(1) 和が 1, 積が1
(2)和が-8, 積が 11
(1) 求める 2 数をα, β とすると, 和が 1, 積が11だから
a + β = 1, aβ=1
であるから, a, βは2次方程式
x2-x+1=0
の2つの解である。これを解くと
1±√i
x =
Ans. 1+ √311-√3i
2
2
(2) 求める 2 数をα, β とすると, 和が-8, 積が 11 だから
a +β=-8, aβ = 11
であるから,a,βは2次方程式
x 2 +8x +11=0
の2つの解である。これを解くと x = -4±√5 Ans-4+√5と-4-5

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【教科書 35 】
問25 2次方程式 x2 +2x+3=0の2つの解をα, β とするとき,次の2数を解と
する2次方程式を1つ求めよ。
1
(1) 2a-1, 2β-1 (2)
-
(3) 02, 2
a B
解と係数の関係より,α+β=-2, aβ =3
(1) (2a-1)+(2β-1) =2(a +β)-2
=-6
=2.(-2)-2
(2x-1)(2β-1)
= 40β-2(a+β) +1
=43-2(-2)+1
=17
よって、求める2次方程式の1つは x2 + 6x + 17 = 0
1 1 a+β
2 1
1 1 1
►(2)
+
-X =
,
a
B
aβ
3
α ßaß 3
2
よって, 求める 2次方程式の1つは x2 +=x+==0
3 3
(3x2 + 2x + 1 = 0)
►(3)
a2 + β2 = (a +β)²-2x=(-2)^-2・3=-2
a2β2 = (aβ)²=32 =9
よって、求める2次方程式の1つは x2 + 2x +9= 0

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【STAGE 数学 II+B】
問題 63 2次方程式x²-ax+b=0の2つの解をα,β とする。 α +1, β+1を
解とする2次方程式の1つがx2-3x+5=0であるとき,実数a,bの値
を求めよ。
α +1,β+ 1 を解とする2次方程式の1つがx2-3x+5=0であるので,
解と係数の関係より
(a+1) + (β+1)=3
∴. a + β =1....①
(a+1)(β+1)=5
∴. aβ + ( a + β) +1=5
∴. aβ=5-1-1=3………②
a,βは2次方程式x²-ax+b=0の2つの解であるので,①,②より
a+β=a=1
aβ = b=3
Ans.a=1, b=3

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【4STEP 数学Ⅱ +B】
問題 A君は2次方程式の定数項を読み間違えたために x = -3±√14 という解を
導き, B君は同じ2次方程式の1次の項の係数を読み間違えたために x = 1,5
という解を導いた。 もとの正しい2次方程式の解を求めよ。
A君の導いた解から2次方程式をつくると
a+β= (-3+√14)+(-3-√14)=-6
aβ=(-3+√14)(-3-√14)=9-14=-5
x2-6x-5=0
…①
A君は①の定数項を読み間違えたので,もとの正しい2次方程式は
x2-6x+m=0
とおける。
同様にB君の導いた解から2次方程式をつくると
(x-1)(x-5)=0 ∴x2-6x+5= 0 ......③
B君は③の1次の項の係数を読み間違えたので,もとの正しい2次方程式は
x2+nx+5=0
とおける。
②と④はともに正しい2次方程式なので,これらよりもとの正しい2次方程式は
x2-6x+5=0
これを解くと
(x-1)(x-5)=0 ∴x=1,5
Ans.x=1, x= 5