3 はじめに Aが赤玉を1個. Bが白玉を1個 Cが青玉を1個持っている。 表裏の出る確率がそれぞれの硬貨を投げ
表が出ればAとBの玉を交換し、裏が出ればBとCの玉を交換する。 という操作を考える。この操作を回 (= 1, 2,
3. くり返した後にA, B, C 赤玉を持っている確率をそれぞれ とおく。
(1) ar by y z by c」 を求めよ。
12abca da catt.
(3)が奇数ならば, b. >が成り立ちが偶数ならばa, b, cx が成り立つことを示せ。
(4) 6. を求めよ。
3 (解答欄 1枚目)
A
(赤)
B
(青)
(1)ai操作を1回した後にAが赤玉を
もっている確率
001
(2) 赤玉をもっている人を考える。
n@e
A
nt1回目
au
ABC
B bul
Chel
Cutl=2/26m+/2/cm③
an
これが起こるのは、BとCが玉を交換
するときであるから、
a₁ = 2
=1/2
bu B
Cu C
操作を1回行った後にBが赤玉をもって
いるためには、AとBが交換すれば
よいから、
±
anti=1/2an+/bm
①
but = 1/ant/cu
②
操作を1回行った後にCが赤玉を
もっていることは起こり得ないから、
C₁ =0
(3)(ⅰ) n=1のとき
ここで、AとBが玉を交換する事象をX
BとCが玉を交換する事象をYとすると、
操作を2回行った後にAが赤玉を
もっているためには
XXまたは→Yが起こればよいので
02=(1/+112=1/2
H
操作を2回行った後にBが赤玉を
もっているためには、
Y→Xが起こればよいから、
b2=1/1/1/2=1/
H
操作を2回行った後にCが赤玉を
もっているためには、
XYが起こればよいから、
C2=1/2/1/2=1/
a₁ = b₁ = ½ C₁ = 0
より、n=1(奇数)のとき
a,b,c,が成り立つ。
(ii) n=2のとき
a2=1/21b2=C2=1/
より、n=2(偶数)のとき、
az> b2=C2が成り立つ。
(iii) n=2kgとき
azk>bzk=Czk4
が成り立つとすると、
n=2kt1のとき、①~③より
A24+1 == Ask + ½ bak...'
bakt1= 1/art/2C2・・・②'
単元ジャンル演習 解答用紙 1/2ページ
C24t=1/2b2k+1/Czk・・・③'
名古屋大学全学部 2010年度 数学1 第3問
旧帝大文系数学対策演習場
東進ハイスクール 東進衛星予備校 2/2
3(解答欄2枚目)
①②より ab2=1/2624-12/2
= 0 (4)
よって、azkt1=b2k+1
②に代入して、
THE
bm1-1/2 (Cat() +12cm
=Cut(m/
bute =
G
- Cu = bui- (2) Cuts = bute"
③に代入して、
Pentel
Ain
軽く消
- Aker-Cake - Cak bur-(+) but ½ (ber (1)~)
= = 1 (024 - (24) 70\
よって、ask>C2kti
in=2k+1のとき
(4)
a2kt1=b2kt>C2k+1は成立する。
(iv) n=2ℓ-1のとき
a22-1=b2e-1>C20-1⑤が
成り立つと仮定すると、
h=2ℓのとき ①~③より
>= 2+ + 2 "
bal = = a++ / Call ---"
C2=1/2bay+/Coat
③〃
①'@'aze-box=2/12(624-1-Czen) 20
よって、azbze
-③"box-Cz=2/12 (ab1-628-)
=0
(:⑤)
よって、 b2x=C2
n=2ℓのとき
aze>bal=Czは成立する。
(-)
(ⅰ)~(iv)より、すべての自然数nにおいて、
nが奇数のときan=buCuが成り立ち、
へが偶数のときan>bm=cuが成り立つ
(4) ①-③ より
(証明終)
anti-Cut=1/2(am-cu)
数列{an-c}は初項ar-c1/2、公比1/2の等比
数列だから、an-Ch=(1/2)man=Cut (63)
bmtz-1/26mt1-1/26m=0
bmz+/bm=bmit/bu
=bn-1/2bm
b₂-b₁
= 0
よって、bait/bm=0
bnti=-1/2bu
数列{bo}は初項bi-/、公比-1/2
の等比数列であるから、
bm=1/2(-1/2)-1
+
単元ジャンル演習 解答用紙 2/2ページ
得点
