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重要 例題 55 図形上の頂点を動く点と確率
円周を6等分する点を時計回りの順にA,B,C,D,E,F とし,点Aを出発点
として小石を置く。 さいころを振り, 偶数の目が出たときは2, 奇数の目が出た
[北海道大]
ときには1だけ小石を時計回りに分点上を進めるゲームを続け、最初に点Aに
ちょうど戻ったときを上がりとする。
(1) ちょうど1周して上がる確率を求めよ。
(2) ちょうど2周して上がる確率を求めよ。
指針 さいころを振ることを繰り返すから、 反復試行である。
(1) 1周して上がる
1,2をいくつか足して6にする｡
→ 偶数の回数 m, 奇数の回数nの方程式を作る。
(2) 2周して上がる
1周目にAにあってはいけない。
A→F, F → B, B → A と分ける。 このときA→FとB→Aは
ともに5だけ進むから、同じ確率になる。
......
......
よって
6
ら、求める確率は(1/2)+c(1/2)(1/2)+c(1/2)(/1/2)+(1/2)-11
43
(m,n)=(0, 5),(1,3),(2,1)
(1/2)+c(1/2)(1/2)+c(1/2)^(1/2)=13/12
解答
(1) ちょうど1周して上がるのに,偶数の目がm 回 奇数の目が回出るとすると
2m+n=6
(m,nは0以上の整数)
(m, n)=(0, 6), (1, 4), (2, 2), (3, 0) 各場合は互いに排反であるか
(小)(+)(1)(1)
[2] 偶数の目が出るときであるから、確率は1/12
21
[3] 確率は [1] と同じであり 32
21 1
よって, 求める確率は
32 2
(2) ちょうど2周して上がるのは,次の [1]→ [2]→[3] の順に進む場合である。
[1] AからFに進む
[2] F からBに進む (Aには止まらない)
[3] BからAに進む
(1) と同様に考えて,各場合の確率は
[1] 2m+n=5から
この場合の確率は
×
かにそれぞれ確率 1/2/3で
F.
E
21 441
32
2048
基本52
3秒後にEにいる確率を
D
奇
練習
動点Pが正五角形ABCDE の頂点Aから出発して正五角形の周上を動くものと
⑨55 する。Pがある頂点にいるとき, 1秒後にはその頂点に隣接する2頂点のどちら
で移っているものとする。
[3] BからAに進むとき 5
だけ進む。これは [1] の
からFに進む (5だけ進む)
のと同じであり、確率も等
しい｡
