αを定数として,xの3次関数f(x)=x+6(1-a)x2-48ax について, 次の問いに答え
よ。
(1) f(x) が極値をもたないときの値を求めよ。
(2) f(x) が正の極大値と負の極小値をもつとき, αの値の範囲を求めよ。
解説
(1) f'(x)=3x2+12(1-α)x-48a
f(x) が極値をもたないのは, f (x) の符号が変わらないときである。
すなわち, 方程式(x) = 0 の解が重解, または実数解をもたないときであるから,
判別式をDとして
D≤0
=(6(1-a))²-3-(-48a)
=36a2+72a+36=36(a+1)²≤0
よって, a=−1のとき極値をもたない。
(2) f'(x) =3(x-4a)(x+4)
f'(x) = 0 とすると x=4a, -4
(1)より, αキー1のとき, f(x) は x=4α, -4で極値をとる。
極値の積が負であればよいから, 求める条件は
ここで
f(4a)f(-4) <0
f(4a)=64z+96(1-4)a²-192a²=-32aa+3),
f(-4)=-64+96(1-a)+192a = 32(3a+1)
a=0 のとき, ① は成り立たない。
よって -322a2a+3)(3a+1) < 0
・・・・・・
・①
a = 0 のとき, ① より
(+3)(3a+1)>0
つ
ゆえに 「a<-3 または 1/1 <a」 かつキ
以上より
a<-3,132 <a<0.0.
1/3<a<0.0<a
