演習
例題
192 指数方程式の有理数解
■ 35 を満たす x は無理数であることを示せ。
■ 345-2y=5×33-6 を満たす有理数 x, y を求めよ。
基本1
指針 実数において,
m
n
(m,n は整数, n≠0) と表される数を 有理数 といい, 有理数
ないものを無理数という。
(1)無理数であることの証明では, 有理数であると仮定して, 矛盾を導く (背理法)
(2)方程式1つに変数x,yの2つ。 有理数という条件で解くから, (1) が利用で
そう。底が3,5であるから, 35 [(1)] の形にはならないことを用いる。
CHART 無理数であることの証明 m (有理数)とおいて, 背理法
n
グラフですれば(発
(1) 3x=5を満たすx はただ1つ存在する。
そのxが有理数であると仮定すると, 3=5> 1 であるか
背理法
事柄が成り立たないと
定して矛盾を導き, そ
m
らx>0で,x=
(m, n は正の整数) と表される。
によって事柄が成り立
n
m
とする証明法(数学
よって
3n=5
両辺をn乗すると
3m=5n
①
ここで,①の辺は3の倍数であり, 右辺は3の倍数で3と5は1以外の公
はないから、矛盾。?
よって, xは有理数ではないから、無理数である。
をもたない。 → 3
は互いに素。
2) 等式から 3x-y+6=5x+2y
②
13÷3=5÷5-2y
