整式 x 2011 を x2+1で割った余りを求めよ。
解答 x2011 を x2 +1で割ったときの商をQ(x), 余りを
ax + b (a, b は実数) とおくと
2011=(x2+1)Q(x)+ax+b
XC
x=i (iは虚数単位) を代入すると
2011=ai+b
①
ここで,i=-1, i=(i)²=(-1) 2 =1であるから
2011=24・502+3
=i=-i
よって, ① は
-i=ai+b
すなわち
(a+1)i+6=0
a + 1, 6 は実数であるから
a+1=0,6=0
これを解くと
a=-1,b=0
したがって, 求める余りは
-x