結閉
たい。
みん
基本
例題
261 媒介変数表示の曲線と面積 (1)
介変数によって, x=4cost, y=sin2t
囲まれた部分の面積Sを求めよ。
431
①①①
(0≦ts) と表される曲線とx軸で
重要 190
重要 262
> 媒介変数を消去してy=F(x) の形に表すこともできるが、計算は面倒になる。
そこでx=f(t), y=g(t) のまま, 面積Sを置換積分法で求める
① 曲線とx軸の交点のx座標(y= 0 となるtの値を求める。
①の変化に伴う、xの値の変化や」の符号を調べる。→微分して、増減表
③面積を定積分で表す。 計算の際は,次の置換積分法を用いる。
s=Sydx=Sg(t)f(t)dta=f(a), b=f(8)
8章
38
面
積
dx
==
-4 sint
dt
dx=-4sintdt
解答
① の範囲で y=0 となるtの値は
t=0,
π
検討
2
2
また、①の範囲においては, 常に y≧0 である。
x=4costから
よって
0-1 120
xtの対応は次の通り。
0
2
x 4 → 0
点がPであるか
y=sin 2t から
また,Ostsでは20で
π
t
0
π
4
=2cos2tであり,
2
dx
あるから, 曲線はx軸の上側
の部分にある。
dt
0
-
dt
☐
t=-
=0 とすると
xC
4
dt
ゆえに、右のような表が得
dy
+
+
+
+
2√2
0
0
-
られる ( は減少
は増
dt
加を表す) * )
y 0
7
K
1
1
0
。
よってS=Soydx
外して整理するど
面積の計算では、積分区間・
上下関係がわかればよいか
ら、増減表や概形をかかなく
ても面積を求めることはでき
る。 しかし、概形を調べない
と面積が求められない問題も
あるので, そのときは左のよ
うにして調べる。
= S sin
sin 2t (-4sint)dt
として、
(*) 重要例題190 のように
↑,↓ を用いて表
1
(t=0)
してもよい。
=4 sin2tsintdt の点の」
0
2/2
4
x
=8f sintcostdt
1b12051nia0-11-200
Day
=
0
sint(sint)' dt
まれた
Sを
