20
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10
5
研究 方程式の解と共
2つの複素数α,βについて,次のことが成り立つ。
1 a+B=a+B
2 aß=aB
練習
練習
上の1 2 を証明せよ。
64ページに書いたように,次のことが成り立つ。
係数が実数であるn次方程式が虚数 α=a+bi を解にもつならば,
それと共役な複素数 α = a-bi もこの方程式の解である。
2次方程式の場合,このことは解の公式からわかる。 これを次の3次
方程式について証明しよう。ただし,D,g,r,sは実数の定数とする。
px3+gx2+rx+s=0
......
証明 方程式 ① が虚数αを解にもつとすると
pa3+qa2+ra+s=0
両辺について,共役な複素数を考えると
3673
pa3+qa²+ra+s=0
上の1から pa³+qa²+ra+s=0
p,g,r,sは実数であることと上の2から
p(a)³+q(a)²+ra+s=0
したがっても方程式 ① の解である。
第2章
181117
複素数と方程式
64ページの応用例題4の3次方程式x-3x2+ax+b=0は, 1+3i を
解にもつから,それと共役な複素数 1-3 もこの方程式の解である。
よって, 方程式の左辺は{x-(1+3i)}{x-(1-3i)} すなわち
x2-2x+10で割り切れる。 x-3x2+ax+bをx2-2x+10で割った
ときの余りを求めることにより、 実数の定数 α, b の値を求めよ。