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2次曲線の性質の証明
発展例題 56
双曲線上の任意の点Pから2つの漸近線に垂線 PQ, PRを下る-
き,線分の長さの積 PQ·PR は一定であることを証明せよ。
GHART
GUIDE)
2次曲線の性質の証明
標準形を利用し,計算をらくに
x? v2
-=1 (a>0, b>0)を利用す
この問題では,双曲線の標準形
a°
29
1 P(x,, y)とし, x,, y の満たす条件を式に表す。
2 PQ·PRをa, b, x, y で表す。
3 1の結果を代入し,PQ·PR がa, bだけの式で表されることを元
田解答田
ー直交
双曲線の方程式を
y?
=1(a>0, 6>0)
x2
ーこの
(xi, Yi)
x
a°
ない。
\a
とすると,漸近線は,2直線
bx+ay=0,
また,P(x,, y)とすると,点Pは双
bx-ay=0
(*)では
公式を
bx-ay=0
bx+ay=0
点(x,
px+q=
px
x。
曲線上にあるから
a°
6°
よって
6°x,?-d°y?=d°6°………の
ox,+ay. |bx,-ayi|
16x8-αy?||
また
PQ·PR=
168+α°
VB+a°
6°+a°
0を代入して
PQ·PR=
a'6°
(一定)
a°+6°
Lecture 直交座標を利用した証明
2次曲線に関する図形的な性質の証明には,直交座標を利用して, 計算
標の決め方は, O 0を多く取る② 対称性が利用できる
それには, 2次曲線の標準形が利用できるように座標をとると,計算量が少
という点がポ
上の例題で。
x*
a°
ニー1(a>0, b>0) の場合にっいて示す必要はない
56° 楕円の焦点を通り, 短軸に平行な弦を ABとする。短軸
長軸の長さと弦ABの長さの積に一致することを証正明せよ。
