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基本 例題 81 2次関数の最大・最小 (3)
00000
αは正の定数とする。 0≦x≦a における関数 f(x)=x-4x+5について、次の
問いに答えよ。
(1) 最小値を求めよ。
最大値を求めよ。
指針 区間は0≦x≦a であるが, 文字αの値が変わると, 区間の右端が動き、 最大・最小と
なる場所も変わる。よって、区間の位置で場合分けをする。
(1)y=f(x)のグラフは下に凸の放物線で、軸が区間のさまに含まれれば頂点で
小となる。ゆえに、軸が区間 0≦x≦αに含まれるときと含まれないときで場合分
をする。
[1]
[2]
|軸
軸
軸が区間
の外
軸が区間
内大量
#31
大量
最小
-1
|最小
67x8
(2)y=f(x) のグラフは下に凸の放物線で,軸から遠いほど受)を
の値は大きい(右の図を参照)。
よって、区間 0≦x≦α の両端から軸までの距離が等しくな(S
軸
[2] 4≧2のとき
[2]
図[2]のように, 軸 x=2は区間
に含まれるから, x=2で最小と
なる。
最小値は
[1] [2] から
f(2)=1
f0<a<2のとき
a2のとき
最小
x=0x=2x=a
x=αで最小値α² -4a+5
x=2で最小値1
(2) 区間 0≦x≦a の中央の値は 1/2 である。
a
[3] 01/12 すなわち <a<43]
頂点で最小。
(1)
139
最大
<指針
★★ の方針。
区間 0≦xaの中央 20
が、軸 x=2に対し左右
どちらにあるかで場合
する
のとき
図 [3] のように,軸 x=2は区
間の中央より右側にあるから,
x=0で最大となる。
最大値は
a
f(0)=5
[4] =2 すなわちa=4 のとき [4]
図 [4] のように,軸 x=2は区
x = 0
x=a
=1/2x=2
x=0の方が軸から
分けの境目となる。
るような (軸が区間の中央に一致するような) αの値が場合
★
=
近 遠
x=0,4で最大となる。
間の中央と一致するから,
最大
最大
<軸と x = 0, a
等しい。
[3] 軸が区間の
中央より右
[4] 軸が区間の
中央に一致
軸
区間の両端
から軸まで
の距離が等
しいとき。
[5] 軸が区間の
中央より左
軸
最大値は
f(0)=f(4)=5
x=0
x=4
x=21
最大
[5] 2< // すなわちα>4のとき [5]
最大
最大
区間の
区間の
中央
[5]のように,軸 x=2は区
間の中央より左側にあるから,
軸
●最大
Ax=a0)
中央)+(1
区間の
中央
x=αで最大となる。
最大値は
[3]~[5] から
f(a)=d²-4a+5
x = 0
x=a
x=2x=0
20
f(x)=x-4x+5=(x-2)2+1
解答 y=f(x)のグラフは下に凸の放物線で,軸は直線x=2
[1] 0<a<2のとき
(1) 軸x=20≦x≦aの範囲に含まれるかどうかで場合
分けをする。
f(x)=x2-4x+22
-22+5
0<a<4のとき
x=0で最大値5
この
最小
a=4のとき
x=0,4で最大値5
にた
指針の方針。
[1]
軸x=2が区間0≦x≦a
に含まれるかどう
a4のとき
x=αで最大値α-4+5
10.0
