28
第1章 式と証明
問
9
整式の割り算(3)
m, nは正の整数とする。
(1) 3m +1 を
1 で割ったときの余りを求めよ。
(2)
+12+x+1で割ったときの余りを求めよ。
これは=0 (n
(室蘭工業大)
以上より、 +
n=3k(k
→ 精講
(2) (1)において
-1=(x-1)(x2+x+1) より, n=3kのとき
は、処理済です. あとは, n=3k+1,3k+2 と場
合分けして調べていきましょう.
(1) cam=(x3-1+1)^
= (X+1)" とみて展開
(1) まずは3m を -1で割るこ解法のプロセス
とを考えます.
n=3k+1
n=3k+2
(2)n=3k, 3k+1,
研究
(2)
3k+2 と場合分けする
解答
(1) x3m+1=(x3)"+1=(x-1+1)"+1
X=x-1 とおいて二項展開すると
x3m+1= (X+1)"+1
={(Xの1次以上の整式)+1}+1
=X(Xの整式)+2
=(-1) (zの整式) +2
よって, x3m+1 を-1で割った余りは 2
(2)(1) より が正の整数のとき
これは
二項定理より
た余り
(X+1)m
=mCoX™•10+mCiX~1.14+
この
...+mCmX1"
すなわ
よい
3k+1=(x-1)(x の整式) +2
である.
=(x-1)(x²+x+1)Q(x)+2
(Q(x)はxの整式)
n=3k のとき, "+1 を x'+x+1 で割った余りは2である.
n=3k+1 のとき,①の両辺にxをかけて, 変形すると
3k+1+x=(x2-x)(x²+x+1)Q(x)+2x
3k+1=(x2-x)(x²+x+1)Q(x)+m
・②
3k+1+1=(x2-x)(x'+x+1)Q(x)+x+1
これはk=0 (n=1) のときも成り立つ.
n=3k+2 のとき,②の両辺にxをかけて, 変形すると
mak+2=(x-x2)(x'+x+1)Q(x) +x
m3k+2+1=(x-x2)(2+x+1)Q(x)+x2+1
=(x-1)(x'+x+1)Q(x)+(x²+x+1)-x
で
