大学：微分積分学 ε-N論法を使うのかなと思いつつなかなか証明できません💦丁寧に教えてくださると嬉しいです！

0<r<1,meNとするとき, 次を示せ: を証明 |an+1-a|≤r|an-a| (\n ≧ m) lim an = a n→∞

数Ⅱ微分積分の問題です。この問題の（2）と（3）が分からないので解説をおねがいします。

*1440 <a<2, f(x)=x-2x2 とする。 (1) 曲線y=f(x) と直線y=α(x-2) の交点のx座標を求めよ。 (2)曲線 y=f(x) と直線y=a(x-2) で囲まれる2つの部分の面積の和を S(a) とする。 S(α) を求めよ。 (3) S(α) を最小にするαの値を求めよ。 [15 大同大]

数2の微分積分の問題です｡(12）までは求められましたがそこから進めません。解き方を教えてください

2 (エ) 関数 f(x) はf(x)=x²+3m2 - 9x + So f(t)dt を満たすとする。 不定積分はαを用いて このとき, 曲線y=f(x) 上の点 (2, f (2)) における接線の傾きは (11) (11)である。 f(x) の [ƒ(₂ (12) + C(Cは定数)と表される。aの値は (13) である。 区間 -4≦x≦2におけるf(x) の最大値は (14) である。 a= f(x) dx = a= = S f(t)dt とおく。

433の問題です 微分積分での瞬間の速さの求め方がわかりません。 教えていただきたいです

A □ 429 ある斜面では,球の転がりはじめてからの時間 (秒) と, 転がった距離 y (m) 教 p.178 問1 1 x2 の関係が成り立っている。 このとき, 3秒後から5秒後ま 2 での平均の速さを求めよ。 との間に, y =

数学 ピンクのラインのところなぜ下端と上端が入れ替わるのですか？

Tは,図2のように考えて T=1 (BU) T=Sx²dx+S(-x²+2x) dx x³ = []+[-² + x²] 3 =(1/13-1)+{(1/8/8+1)-(-1/3+1)}=1 +4 F(-1)=S_'f(t)dt="0 また 面積Sについて s=S_^{-f(x)}dx= $_f(x)dx=-Sf(t)dt=-F(0) であるから F(0)=-S (①) F(2)-F(0)=S_s(t)dt-f_s(t)dt=So's(t)dt+S_f(t)dt =Sof(t)dt=T (②) y=f(x)=_f(t)dtのグラフについて F(-1)=0 より, ⑩, ③, ⑤ は不適。 F(0)=-S より , ① は不適。 0≦x≦2において, F(x) は増加するので, ④は不適。 以上により,y=F(x)のグラフの概形は②である。 (3) y=f(x)のグラフは, y=f(x)のグラフのx軸よりも下の部分をx軸に ついて折り返したもので、図3のようになる。 G(0) = S_,lf(t)dt は、図3の領域Pの面積で, 対称性からSに等しい。 (⑩) G(3) = S_If(t)dt は、図3の領域 P,Qの面積 と (2) の面積Tを足したものである。 領域PとQの面積は等しいから, G(3)=2S+T である。 (④) 図3から, G(x) は x≧-1において, 単調に増 hutz 図2 -1 01 2 3 図3

演習β第36回 1(3) (3)が全く分からないので詳しく教えてください🙇‍♀️

1 [2000 香川大] 3次関数f(x)=x-3ax+α²-4について,次の問いに答えよ。 (1) この関数の極値を調べよ. (2) 方程式f(x)=0が異なる3つの実数解をもつようなαの値の範囲を求めよ. (3) (2) のとき, 3つの解は2と2aの間にあることを示せ . 解答の値によって場合分け!! (1) f'(x)=3x-34²=3(x+a)(x-a) [1] a>0のとき x=-αで極大値f(-α)=203+α-a, x=αで極小値f(α)=-2a+α-a をとる。 [2] α=0のとき極値なし. [3] a <0のとき で極大値f(a) =-2a3+a²-a, x=-αで極小値f(-a)=2a+α-a をとる. (2) 関数f(x) が正の極大値と負の極小値をもつとき, y=f(x)のグラフはx軸と3点 で交わるから、方程式f(x) = 0 は異なる3つの実数解をもつ。 (1) から, 求める条件は A a≠0かつf(-a)f(a)<0 ここで (1)と〔3]を合わせた f(-a) f(a)=(2a³ + a²-a)(-2a³+ a²-a) =a²(2a-1)(a+1)(-2a²+a-1) [2] 0²0n²z fux)= 3x² fux tot +4x) = 0 1²2²3011 X=0 the 209 a0から a² > 0 2 7 また - 2a² + a−1 = -2(a− 1)² -- 8 よって, f(-a)f(α) <0から (2a-1)(a+1)>0 これを解いて a<-1, 1/23 <a (a≠0を満たす) (3) f(-2a)=-2a³ + a²-a=f(a), ƒ(2a)=2a³+ a²-a=f(-a) (2) より, f(-a) f(a)<0であるから f(-2a)f(−a)=f(a)f(-a) <0, Hoyv <0 f(a)f(2a)=f(a)f(-a) <0 ゆえに, f(x) = 0 は24とa,-aとa, a と24の間にそれぞれ解をもつ. よって、3つの解は2と2の間にある. 2 [2 かを定 なる担 (1) 2 (2) 2 (3) 2 (4) (1) t (2

赤線のx-tがどこからきたのかわかりません。教えてください！！

f(x)=x^²-2x+4とおく。 f(x)=2x-2 接点のx座標をしてする。 l= y(t²- 2 + + 4) = (2-2) (x -t) lは点(0.0通るから ①だからきえた! - (t²- 2t+4) = -t (2t - 2) - (*)

　高校数学Ⅲ、微分法の応用問題です。画像右側の「課題4」の解き方が分かりません。解答法を教えて頂けますと助かります。よろしくお願いします。

196 15 20 ○○○○2 最短のケーブルで都市をつなぐ方法 3つの都市の位置を地図上で確認したところ, 右のような△ABC の頂点上にあった。 このと き、どのように結べばケーブルの長さの総和が 10 最小になるだろうか。 座標平面を利用して考え B てみよう。 学習のテーマ 微分法の応用 複数の都市をネットワーク回線でつなげることを考える。このとき, コ ストを低くするためには、つなげるケーブルの長さの総和をできるだけ 短くする必要がある。 各都市をどのようにケーブルでつなげればよいか 考えてみよう。 H 3 3点をA(0, 3), B(2,0),C(20) とする。 △ABC の周および内部 に点Pをとるとき, AP+BP+CPが最小となる点Pの座標と, その ときの AP + BP + CP の最小値を求めてみよう。 ただし, AP +BP+CP が最小となるのは, 点PがABC の対称軸上にある ときであることがわかっている。 [2] ABCの最大の角が120°より大きい場合 △ABCの最大の角をはさむ2辺で3点を結ぶ 4 一般に, 3点A,B,Cを線分で結んでつなげるとき, その線分の長さ の総和が最小となるのは,次のように結んだときであることが知られて いる。 [1] ABC の最大の角が120° より小さい場合 [1] △ABCの内部に点Pをとり, 点Pから3点を 結ぶ B・ [2] B C A C 5 10 15 次に、他の4つの都市の位置を地図上で確認したところ, 正方形の 点上にあった。 ある生徒は, この4つの都市を右のように対角 Ar 線状につなげれば, ケーブルの長さの総和が最小 になると考えた。 点Pは対角線の交点である。 課題 4 R 前ページのことを利用すると、 正方形の内部 A に2点Q, R をとり、 右の図のようにして4 つの都市を結んだ方が, ケーブルの長さの総 和が短くなる場合があることがわかる。 その理由を考えてみよう。 B Q 課題学習 P R D 課題4のように正方形の内部に 2点 Q, R をとるとき, AQ+BQ+QR+CR+DR が最小となるときのつなげ方が, ケーブルの 長さの総和を最小にして、 正方形の頂点上にある4つの都市をつなげる 方法である。 2点 Q, R をどの位置にとればよいか, 座標平面を利用して考えてみ よう。 まとめの課題2 4点A(-1, 1), B(-1, -1), C(1, 1), D (11) がある。 実数 αが 0<a≦1の範囲にあるとき, 2点Q(-α,0), R (α, 0) を考える。このとき 20 5本の線分の長さの和 AQ+BQ+QR+CR+DR が最小となるようなaの植 を微分法を利用して求めてみよう。 *

微分積分の質問です。黄色四角の部分が全然わかりません。

例題 1・1 23 関数 f(x) = x + ax2+bx+cは次の3つの条件を満たすものとする. (i) 曲線 y=f(x) の接線の傾きの最小値は-3である. (i) f(x)はx=2において極小値をとる. () f(x) は極大値をもち, その値が3である. このとき, a,b,cの値を求めよ. 考え方 (ii) f(x)はx=2において極小値をとることから, f'′(2)=0 であるが,この逆は成立するとは限らない. そこで,最後に f(x) の増減を調べて条件を満たすかをチェックする. °f\x) dx = f f(x) dx + [° f(x) dx 解答 f(x)=x²+ax²+bx+cより, f'(x)=3x2+2ax+b = 3(x + 1/a)²- a² + b. (i) より,接線の傾きの最小値が−3であるから, ƒ (-a)= - a² + b = −3. 3 ①を②に代入して, ["g(x)dx (号) 1 2 b=a²-3. また, (ii) より, f(x)はx=2で極小値をとるから, f′(2) = 4a+b+12=0. 4a + +12=0. a²+12a+27=0. (a+3)(a+9)=0. a=-3, -9. (2) 極値の条件 O 2 y=f(x) 「f(x) が x=2で極値をと る」 ⇒ 「f'(2)=0」. この逆は必ずしも成り立たな つまり,f'(2)=0 は, f(x) x=2で極値をとるための必 要条件にすぎないことに注意す る.

全く手がつけれません。 1問だけでもいいので助けて頂きたいです😢

X,Y は実数全体の集合R の部分集合とする. (1) 関数 g : Y → X が関数 f : X→Yの逆関数であることの定義を述べよ. (2) 逆関数が存在する関数の例と逆関数が存在しない関数の例を1つずつ挙げよ. (3) X,Y は開区間であるとする. 微分可能関数 f: X → Y について y = f(x) と 書き, f の逆関数 f-1 : Y → X についてæ=f-l(y) と書くことにする.この ときæ = f-1(y) は微分可能であり,かつ が成り立つことを示せ. df-¹(y) 1 = dy f'(x)