これ、先にdθ/dx ×（sinθ/1-cosθ）をしてからθで微分すると答え変わるんですが、何でですか？

基礎問 114 64 媒介変数で表された関数の微分 D 第5章 微分法 Ly=1-cos0 x=0-sinf 0で表せ. 精講 変数tを用いてx=f(t), y=g(t) の形で (x,y)が与えられ るとき,t の値が1つ決まると点 (x,y) が1つに決まるので 動かすと点(x,y) が動いて, ある曲線Cができ上がることが [x = f(t) Ly=g(t) 媒介変数表示といいます.(数学ⅡI B45 このような形で表される関数でも,t を消去して「y=(xの式)」の形に れば今までと同じように微分できますが,そうでないときにどうやって微 るのかが今回のテーマです。 まず, 記号の復習です. できます. このとき 次に, d dy ○は「○をxで微分する」という意味ですから, は「yをxで微 d.x dx る」ことを意味する記号です. (00 <2π) で表される関数について また、 d'y は「yをxで2回微分する」ことを意味する記号です. 「2」 dx² dr do いている位置が分子と分母で違うところに注意してください。 次に,微分 ときに使う公式ですが,これはポイントを参照してください. 解答 dy dx dy do dy dy dx' dr をtを媒介変数(パラメータ)とする曲線 =(0-sin0)=1-cose, cy=(1-cose)'=sin0 sino dx 1-cos de [ddy dx²dx sino 1-cos0, 【 注 1 ポイント 注2 do d sino dx de 1-cos 注2 1 1-cos 0 d sin ( dx 1-cos 0) cos0-cos2d-sin20 (1-cos)³ 演習問題 64 x=f(t), y=g(t) と表されているとき, dy dy dt g'(t) d²y dx dx 1 dy (sin 0) (1-cos)-sin 0(1-cos)' (1-cos0)² -60 商の微分 = dy dx この基礎問では, 注1 味ですが、文字が入っていないのにどうやってxで微分するのでしょう か? そこで,次の性質を利用しています. d 0=do. do (=do. do dx dx dx sing do (1-cose)² は、約束によれば, x= cos 0-1 1 (1-cos 0)³ (1-cos0)² d (dy dx f'(t)' dx² dx\dx, dt do は約束によれば, 0 をxで微分するという意味ですが, dx sino 1-cos 0 x=0-sin0 を 「8= (xの式)」の形にできるわけではありません.そこで, 「逆関数の微分」といわれる次の公式を利用しています。 l-t 2t y= 1+ t², 1+12 をxで微分するという意 do 1 として用いています。 dx dx do dy (1) 関数x=y²-2y(y> 1) について, dx (2) 大切な公式 (t=0) について 115 大切な公式 da で表せ. dy d'y dr' dre をtで表せ. 第5章 章 83) (50) ta

すみません💦 ベクトルが苦手で全然分からなくて最初から教えていただけると助かります💦 問題140です

駒澤大]* y b+tcp² ■広島工業大] 直になるよ 小樽商科大]* 。 実数tが 摂南大] = (x, 11, 2y),b=(x-4, 2, y-6) を考える。 aとbが平行であ [13] るときと, a と 6 が垂直であるときの実数x,yの値を求めよ。 CHECK 139 2つのベクトルa=(√3,1,2),(-1, 3,0) の両方に垂直で,大きさが2 あるベクトルをすべて求めよ。 [1] [東京都市大] 500 (23:28 CHECK 140 xyz空間において点 (3,5,6) 通り, ベクトル=(1,2,-1)に平行な直線と yz 平面との交点の座標を求めよ。 002+A0 (-D30 [07 立命館大] BCAPCA を求めよ。 PCA を求めよ。 … dog+ CHECK 141 80 (1-1+50)-30 33130 3点A(1, 1,1), B(2, 3, 2), C (-1,-2,-3) を通る平面上に __ 北四 点D(m+6.1. m +10) があるとき, m の値を求めよ。 QD=0 & 30! [13 茨城大]

①②の式はどうやってつくったのかが分かりません。

0 基本例題110 媒介変数と軌跡 ①①① 放物線y=x2+ (2t-10)x-4t+16の頂点をPとする。 tが0以上の値をとって 変化するとき, 頂点Pの軌跡を求めよ。 基本 108 重要 111 指針tの値を1つ定めると放物線が決まり, 頂点も定まる。 例えばノ=3| t=0のとき t=1のとき t=2のとき t=3のとき t=4のとき 解答 → → - 頂点 (5, -9) y=x²-10x+16, y=x2-8x+12, 頂点 (4, -4) 頂点 (3,-1) y=x2-6x+8, y=x2-4x+4, 頂点 (2, 0) y=x2-2x, 頂点 (1,-1) このように考えていくと,右図から頂点Pの軌跡は放物線の 一部らしいことがわかる。 y=x2+(2t-10)x-4t+16 = {x+(t-5)}²-(t-5)²-4t+16 ={x+(t-5)}^-t+6t-9 ={x+(t-5)}2-(t-3)2 よって、 放物線の頂点Pの座標を(x,y) とすると x=-t+5 y=-(t-3)2 t=5-x ①から ②に代入して y=-{(5-x)-3} =-(x-2) 2 また, t≧0であるから 5-x≥0 したがって x≤5 よって 求める軌跡は, 放物線y=-(x-2)のx≦5の部分 YA 10 2 5 O (2,0) -9 (1,-1) 1 頂点Pの座標を(x,y) とすると, x=(tの式), y=(tの式) と表される。 x=(tの式),y=(tの式) から 変数t (p.168で学習したつなぎの文字と同じ)を消去し て、x,yの関係式を導く。 なお、 t≧0の条件に要注意。 (0.-4) t-5 (-1,-9) t=4 t=2 [t=6 (3,-1) x (4,-4) t=1 (5,-9) t=0 tを消去。 171 ① 2次式は基本形に直す 放物線y=a(x-p)²+αの 頂点は点(p,q) xyはtの式で表される。 3 章 18 8 軌跡と方程式 tの値に制限があるから, x, yの範囲にも制限がある。 これを調べる。 170500x350 検討 媒介変数表示 平面上の曲線Cが1つの変数, 例えばtによって, x=f(t), y=g(t) の形に表されるとき、これ を曲線Cの媒介変数表示といい, 変数を媒介変数 (パラメータ)という。 tが実数値をとるとx= f(t), y=g(t) により, (x,y)の値が1つに決まり､t が変化すると点 (x,y) は座標平面上を動き, 図形を描く。 ²0 がある。 α の値が変化するとき, 円の中心

この問題では、パラメータs、tを用いていますが、パラメータtだけでは解けないのでしょうか？また、tだけを使う場合とtとs両方使う場合の見分け方を教えて欲しいです！

94 第3章 図形と方程式 練習問題 16」 点A(60)円x2+y2 = 9 がある. 点Qが円上を動くとき,線分 AQ を2:1に内分する点Pの軌跡を求めよ. 精講 練習問題 15 の別解と同様に、2つのパラメータを使って解いてみ ましょう.点Pの座標を(X,Y) とし, 点Qの座標を(s,t)と2 つのパラメータを用いて表します. 次に, X, Y を s, tを用いて表し,s,t の満たす関係式を用いてs, tを消去します。 解答 P(X,Y), Q(s, t) とおく. Pは線分AQ を 2:1に内分する点なので, X= Y= すなわち 1.6+2.s 2+1 X = 2s+6 1.0+2.t 2+1 Y= これを stについて解くと これに①を代入して 2t 3 s=3X-6, 1-3Y S= t= 2 2 点Q(s,t) は円x²+y'=9 上を動くので, s2+f2=9 x² + y² =9 内分の公式 3X-612 (3x2=6 )² + (³x)² = 9 < 3Y\² 2 14 (x-2)+12712=9 34 0 y P 3 (X-2)^+Y2=4 したがって, 点Pの軌跡は, 円 (x-2)^2+y^=4(中心 (2,0), 半径2の円) O ….…….. ① <s, t を X, Y を用いて 表すのがポイント (³X₂-6) ² - { // (x-2)}) =(x-2)² 展開せずにそのまま円の [標準形にしてしまおう 2 3 4 6 I

軌跡を求める問題なのですが 例題の解答によれば 十分性の確認をしてないようなのですが 答え方としてはそれでもいいのでしょうか？

200 第3章 図形と方程式 Check (1) P(t+2, 2t²-3) (2) 放物線y=x²-2(t+1)x+t+1 がx軸と異なる2点で交わると tが実数値をとって変化するとき, 次の点Pはどのような図形を描くれ の頂点P 例題 108 媒介変数と軌跡 考え方 (1), (2)で用いられている変数t を 媒介変数 (パラメータ) という. の満たす方程式を導く. 点Pの座標を(x, y) とおいて, x, yをそれぞれで表し, t を消去することで Focus 解答 P(x,y) とおく. [x=t+2 (1) ….………. ① ly=2t2-3... ② ①より, t=x-2 これを②に代入して, y=2(x-2)2-3 よって, 求める軌跡は, 放物線y=2(x-2)2-3 (2)y=x²-2(t+1)x+t+1 ={x-(t+1)}2-(t+1)+t+1 = {x-(t+1)}²-t²-t より, 頂点Pの座標は, (t+1, -t²-t) x=t+1 ......1 したがって, ly=-t-t... ② 放物線 y=-x2+xの x<0, 1<xの部分 YA x=(tの式) y=(tの式) O ① ② より, y=-(x-1)2-(x-1)=-x2+x ここで, 放物線はx軸と異なる2点で交わるので、 3310 D 20 y=-t-t<0 t(t+1)>0 より, t <-1,0 <t ① から, x-1<-1,0<x-1 より, x<0, 1<x よって, 求める軌跡は, 練習 108 (1) P(2t-2, 3t²+1) ** (2) 円x2+y2-2tx+4t -3-- tを消去 YA 2 1 4 0 1 1-2 XC 1\x (x,y)=(t+2.20 ① ② からを る. Cab 平方完成する。 Check 例題 (1) tがすべての実 とるときも の実数値をとる。 放物線y=2x- でもよい。 (x,y)=(t+1,6 ①より、 t=x-1 これを②に代入 x軸と異なる2点 わるという条件から tの範囲に制限がつ (頂点のy座標 ) < 0 x,yの方程式 (x,yの範囲に注意 tが実数値をとって変化するとき、次の点Pはどのような図形を描くか. (2) 考え方 解答 7 S

赤で線を引いたところですが、x軸と異なる２点で交わるなら y＝−t^2−t>0 になると思ったのですが、なぜy＝−t^2−t<0になるのか教えてください。

tが実数値をとって変化するとき,次の点Pはどのような図形を描くか、 点Pの座標を(x, y) とおいて, x, yをそれぞれtで表し, tを消去することで、x, Check S で 例題 108 媒介変数と軌跡 まが実数値をとって変化するとき, 次の点Pはどのような図形を描くる Ch 1) 直 と 例題 (1)P(t+2, 2t-3) 2 の頂点P 考え方(1), (2)で用いられている変数もを媒介変数(パラメータ)という。 考え方/ (1) の満たす方程式を導く。 YA (2 解答 P(x, y)とおく. (x, y)=(t+2, 2f-) D, ②からtを消去す [x=t+2 ly=2f°-3 のより, これを②に代入して, y=2(x-2)?-3 よって,求める軌跡は, 放物線 y=2(x-2)?-3 (2) y=x-2(t+1)x+t+1 ={x-(t+1)}-(t+1)2+t+1 ={x-(t+1)}?-ーt る。 解答 t=x-2 2 tがすべての実数値を とるとき,xもすべて の実数値をとる。 放物線 y=2x-8x+5 でもよい。 0 x ケィラス 1 08-) he.650上り、頂点Pの座標は, 暴島一 No 三 したがって, 平方完成する。 (t+1, -ピーt) 「x=t+1 ly=ー-t 2 ソ=ー(x-1)?-(x-1)=-x°+x の, 2より, ここで, 放物線はx軸と異なる2点で交わるので, ソ=ーーt<0 t(t+1)>0 より, のから, より, のより,t=x-1 300 これを2に代入 *軸と異なる2点で交 わるという条件から。 tく-1, 0<t x-1<-1, 0<x-1 の範囲に制限がつく、 (頂点のy座標)<0 x<0, 1<x よって,求める軌跡は、 放物線 y=-x°+x の x<0, 1<x の部分 4レ んと にする BA ( 11 x 2 0 Focus = (tの式) メ= (tの式) *ミ tを消去 とお x, yの方程式(x, yの範囲に注意 練習 108(1) P(2t-2 32+1) と2 |

赤線の部分はどういう事ですか？ わかる方教えてください🙏

変数tを用いて ェ=f(t), y=g(t)の形で(x, y) が与えられてい 動かすと点(z, y) が動いて, ある曲線Cができ上がることが予想 114 第5章 微 分 法 基礎問 64 媒介変数で表された関数の微分 dy d'y (0<0<2x)で表される関数について dr' 2=0-sin0 dr? y=1-cos0 0で表せ。 精講 「=f(t) ly=g(t) をtを媒介変数(パラメータ)とする曲線C。 できます。このとき, 媒介変数表示といいます. (数学 I· B45) このような形で表される関数でも, tを消去して「y=(エの式)」の形にでき れば今までと同じように微分できますが, そうでないときにどうやって微分す るのかが今回のテーマです. まず, 記号の復習です。 dy dz d ○は「○をェで微分する」という意味ですから, は「yをェで微分す de る」ことを意味する記号です。 また。 d'y dr? 上は「yをエで2回微分する」ことを意味する記号です。 「2」のつ いている位置が分子と分母で違うところに注意してください. 次に, 微分する ときに使う公式ですが,これはポイントを参照してください。 解答 dz (0-sin0)'=1-cosé, dy =(1-cos 0)'=sin0 d0 de dy dy de sin0 1-cos0 三 de de 6-lgo!+1S-lijol-(6-)6-)200 de 次に, d°y d(dy d sin0 dr dz\dr をdで1のかたお。 de\1-cos0 注1

⑴なのですが、 「実数値をとる」とあります。 判別式を使わなくていいんでしょうか？ 理由を教えてください🙇‍♀️

(2)放物線 y=x-2(t+1)x+t+1 がx軸と異なる2点で交わるとき tが実数値をとって変化するとき, 次の点Pはどのような図形を描くか 例題 108 媒介変数と軌跡 の で挟点 が実数値をとって変化するとき, 次の息Pはどのような図形を描く。 点Pの座標を(x, y) とおいて, x, yをそれぞれむで表し, tを消去することで、x, Check (1) P(t+2, 2t°-3) 類 2放物線 y=ー2(t+1)x+t+1 がx軸と異なる2点で交わると。 の頂点P 考え方 (1), (2)で用いられている変数tを媒介変数(パラメータ)という。 の満たす方程式を導く、 P(x, y)とおく。 「x=t+2 ly=2t°-3 のより、 これを②に代入して, y=2(x-2)?-3 よって,求める軌跡は, 放物線 y=2(x-2)?-3 (2) y=x°-2(t+1)x+t+1 ={x-(t+1)}}?-(t+1)?+t+1 ={x-(t+1)}?-tーt より、 頂点Pの座標は, (t+1, -ピーt) 解答 (x, )=(t+2, 2f-3) 0, 2からtを消去す t=x-2 2 る。 tがすべての実数値を とるとき,xもすべて の実数値をとる。 放物線 y=2x°-8x+5 でもよい。 0 x )8Aを 平方完成する。 一 三 したがって, …の Ly=ーt-t 2 y=ー(x-1)?-(x-1)=-x+x x=t+1 0, 2より, ここで,放物線はx軸と異なる2点で交わるので, y=ー-t<0 t(t+1)>0 より, のから, x-1<-1, 0<x-1 より, のより,t=x-1 これを2に代入 x軸と異なる2点で交 わるという条件から, tの範囲に制限がっく. (頂点のy座標)<0 tく-1, 0<t y4 x<0, 1<x よって,求める軌跡は, 放物線 y=-x°+x の xく0, 1<x の部分 4 |01 2 Focus x=(tの式) y=(tの式) tを消去 , yの方程式(x, y の範囲に注意) 「練習 108)(1) P(2t-2, 3°+1) (2) 円 x+y°-2tx+4ty+6"-1=0 の中心P O 6.226[)

写真は解答も写したものです。 なぜ写真のようにxとyを定めるとy=1x/3+2になるのかわかりません。どこに代入したら出てくるのですか？

CHRHK K J8. 実数aに対して,曲線 Ca:x?+3ax+y°+(aー4)yー7a-1=0 を考える。 Th Caはaの値にかかわらず, 円を表すことを示せ。 【名城大) (1) 10 点(2) 15点) 人 (xt 是a)fur la-4) 3?. 早α-+5a+5 号 (atl)"t 2 変形すると、 (xt a)+{4+(a-4) 3 2 2 2 ニ aがどのまうな実数でも、 (ati)+ 0. 2 すって Ca 1は an 値にかかわらず 内を表す。 (2) Caの中心をPとする。aがすべての実数値をとって変わるとき,Pの軌跡を求めよ。 a-4 ) ()り P(- a, X= --a aを消去すると 2 a-40。 とまし? (点03) 3 ここ? 2 X+2 y こ よって 点Pの軌ホは a1.+7 (/1 10 占 19)15 占) 「宮崎力

図形と方程式です！ (2)で、異なる2点で交わると書いてあると、「あ！判別式で解けるやつだ！」って思うんですけど、この時に使えないのはどうしてですか…？？

0 第3章 図形と方程式 Check 例題 108 飲 媒介変数と軌跡 tが実数値をとって変化するとき, 次の点Pはどのような図形を描くか。 (1)P(t+2, 2t?-3) (2) 放物線 y=x-2(t+1)x+t+1 がx軸と異なる2点で交わるとき の頂点P 考え方(1), (2)で用いられている変数tを媒介変数 (パラメータ)という. 点Pの座標を(x, y) とおいて, x, yをそれぞれtで表し, tを消去することで,x, v の満たす方程式を導く. 解答 P(x, y)とおく. YA (x, y)=(t+2, 2t-3) 0, 2からtを消去す 「x=t+2 ly=2t?-3 のより, これを②に代入して, ソ=2(x-2)-3 よって,求める軌跡は, 放物線 y=2(x-2)°-3 (2) y=x°-2(t+1)x+t+1 ={x ={x-(t+1)}?-tーt より,頂点Pの座標は, る。 t=x-2 2 tがすべての実数値を とるとき,xもすべて の実数値をとる。 放物線 y=2x°-8x+5 x 1 でもよい。 0.8-) 平方完成する。 (t+1, -ピーt) x=t+1 したがって, (x, y)=(t+1, -パー) ly=ーf-t ソ=ー(x-1)?-(x-1)=-x°+x ここで, 放物線はx軸と異なる2点で交わるので, 0, 2より, のより,t=x-1 これを2に代入 x軸と異なる2点で交 わるという条件から, tの範囲に制限がつく. (頂点のy座標)く0 ソ=ーーt<0 t(t+1)>0 より, のから、 t<-1, 0<t x-1<-1, 0<くx-1 Y4 より, x<0, 1<x よって, 求める軌跡は, 放物線 y=-x°+x の さ<0, 1<x の部分 4 0 1x 'ocus =(tの式) ソ=(tの式) tを消去 x, yの方程式(x, yの範囲に注主意) 12