赤のマークのところどうしてこの式になるんですか？ 教えていただきたいです🙌🏻

弐 3 直線の方程式 上の2点間の距 (1) 傾きm,y切片nのとき, y=mx+n (2) 一般形 (3)(x1,y) を通り、 ax+by+c=0 b 傾きのとき, (x軸に平行なとき 軸に平行なとき, y-y=m(x-x) y=y₁) x=x108 Taber a=b=0 は除く. YA +4 x 書傍 B+ [レ]

赤い線を引いたところが，なぜなのか分かりません💦

コメント 結果的にいえば、2つの円の方程式を の方 x2+y^-5=0……①,r'+y^-6x+2y+5=0 とするとき2円の交点を通る直線は ①②であっさり求められるわけです. 最初聞いたときは, 「えっ、なんで?」と思ったものですが,すでに説明した ように,「①,②」と「①-②②」の同値関係を考えることで説明できるわ けですね. すが 奈良 この「同値」の考え方の威力を感じていただくために,次のような問題を絡 介しておきましょう. 例題 平面上に3つの円があり,どの2つの円も異なる2点で交わっているも のとする.各2円の異なる2つの交点を結ぶ3つの直線は1点で交わるこ とを示せ. 設定がとても一般的ですので,解こうにも何から手を つけてよいのかわからないような問題ですね.ところが, 図形と方程式の考え方を用いれば,ほとんど計算をする ことなく証明できてしまうのです. まず,3つの円を一般形 (x'+y' + lxc+my+n=0の 形)で表した方程式を ① ② ③とします.すると,①と②の2つの交点を通 る直線は 「①-②」, ②と③の2つの交点を通る直線は 「②③」, ①と③の2 つの交点を通る直線は 「①③」 と表せます. (2x 2-3 この +2①-2 (1)(2 これは、 (3) 一致する ②③ ①+ 1-3 けば ③ ことな る ここで 件は、 が成り立つことです ①③=(①-②)+(②-31- 0 (S) なのですから, 「①-② ②③」 と 「①③ ② ③」は同値です。 つまり、 それぞれの直線の交点は一致するわけですから,3直線は1点で交わります.

この下の例題で、各円の方程式を引いたらそれぞれの交点を通るのは分かるのですが、「ここで」の後がいまいちピンと来ません。丁寧に解説お願いしたいです

90 第3章 図形と方程式 コメント 結果的にいえば、 2つの円の方程式を x² + y²-5=0, x²+y²−6x+2y+5=0__····· とすると円の交点を通る直線は①②であっさり求められるわけです。 最初聞いたときは, 「えっ、なんで?」 と思ったものですが,すでに説明した ように, 「①②」 と 「①-②, ②」の同値関係を考えることで説明できるわ けですね. 「この「同値」の考え方の威力を感じていただくために,次のような問題を紹 介しておきましょう. 例題 平面上に3つの円があり,どの2つの円も異なる2点で交わっているも のとする.各2円の異なる2つの交点を結ぶ3つの直線は1点で交わるこ るので、 とを示せ . 設定がとても一般的ですので,解こうにも何から手を つけてよいのかわからないような問題ですね. ところが上回 図形と方程式の考え方を用いれば、 ほとんど計算をする ことなく証明できてしまうのです. まず3つの円を一般形 (x2+y^+lx+my+n=0の 形)で表した方程式を ① ② ③とします. すると, ①と②の2つの交点を通 る直線は「①-②」,②と③の2つの交点を通る直線は 「②③」, ①と③の2 つの交点を通る直線は 「①③」 と表せます. 「ここで 一致する 2-3813 ①ONOS 1359 1-3=(1-2)+(2-3) 1-= del なのですから, ①②, ②-③」 と 「①-③, ② - ③」は同値です.つまり、 それぞれの直線の交点は一致するわけですから、3直線は1点で交わります。 し

どういう流れで黄色いマーカーの式になったのかが分かりません 詳しく教えていただけると嬉しいです

22 基本例題 70 放物線の平行移動と方程式の決定 次の条件を満たす放物線の方程式を,それぞれ求めよ。 (1) 放物線 y=2x² を平行移動した曲線で, 2点 (1, -1, (20) を通る。 ③ 基本 68.69 (2) 放物線y=-x2+2x+1 を平行移動した曲線で, 原点を通り,頂点が直 線y=2x-1 上にある。 CHART & SOLUTION 放物線の平行移動 平行移動によってx^2の係数は不変」 2の係数はそのままで, 問題の条件により、 基本形または一般形を利用する。 (1) 移動後の頂点や軸が与えられていないから、 一般形 からスタート。 平行移動してもx²の係数は変わらず2である。 (2) 頂点に関する条件が与えられているから、 基本形からスタート。 頂点(p, g) が直線 y=2x-1 上にある⇔g=2p-1 解答 cina x (1) 求める放物線の方程式を y=2x²+bx+c とする。 放物線が2点 (1,-1), (20) を通るから b+c=-3, 26+c=-8 b=-5,c=2 これを解いて よって 求める方程式は y=2x²-5x+2 (2) 求める放物線の頂点が直線y=2x-1 上にあるから, 頂点の座標は(p,2p-1)と表される よって 求める方程式は y=-(x-p)²+2p-1 と表される。 放物線が原点(0, 0) を通るから YIRENOS 0=-(0-p2+2p-1 すなわち p22p+1=0 これを解いて p=1 ゆえに (p-1)²=0 よって 求める方程式は y=-(x-1)+1(y=-x2+2x でもよい) AOLA 立 BOLS 頂点や軸の位置はわか らないから、 一般形で 考える。 inf. x軸との交点 (2,0) が含まれているので,分解 形y=2(x-2)(x-β)から スタートしてもよい。 Team るだけ 頂点の座標を利用する から、基本形で考える。 重 (s) ea ER inf. (1) ly=2(x-p)²+q, y=-x2+bx として, 問題の条件から、未知数p, g, bを求めることもできる。 ACTICE 70③ でもよしらー 放物線 y=x²-3x-1 を平行移動して2点(1,-1), (20) を通るようにした 書き, その放物線の頂点を求めよ。 1133021 (代) 放物線y=212x2を平行移動した曲線で,点 (1, 5) を通り,頂点が直線 =-x+2 上にある放物線の方程式を求めよ。

２番です。 qについて何の記述もなしに急に式に用いて大丈夫なんですか？また（解答の2点を通るときの計算のように）,を打っていけば2つの式を同時に計算して良いのですか？ 最後に、私の記述に問題ないですか？

基本形) 一般形) 分解形 ) 点(p,q) 軸が直線 -p)²+q 値がg → -p)²+q 0) , 0), を通る→ -a)(x-B) つで,どの であるから, 1次方程式 cの係数 1 であるこ 立方程式 解く。 7+b 2-1 89 2次関数の決定(1) 基本例題 2次関数のグラフが次の条件を満たすとき, その2次関数を求めよ。 (1) 頂点が点(-2, 1) で, 点(-1,4)を通る。 (2) 軸が直線x= x=1/12で2点(-1, -6),(1, 2) を通る。 指針 2次関数を決定する問題で,頂点(p, g) や軸x=pが与えられた場合は 基本形 y=a(x-b)+α 頂点が(■) からスタートする。 すなわち,頂点や軸の条件を代入して (1) y=a(x+2)²+1, (2) y=a(x-1)² +9 から始め, 通る点などの条件からag の値を決定する。 CHART 2次関数の決定 頂点や軸があれば基本形で 解答 (1) 頂点が点(-2,1)であるから, 求める2次関数は y=a(x+2)2+1 よって と表される。 このグラフが点(-1, 4) を通るから 4=α(−1+2)^+1(*) (2) 軸が直線x= ゆえに y=3(x+2)²+1 (y=3x²+12x+13でもよい) すなわち これを解いて よって であるから 求める2次関数は y=a(x - 2)² +9 とされる。 このグラフが2点(-1, -6), (12) を通るから a=3 -6=a(-1-1)² +9°, 2-a(1-2)* +9° a+4g=8 9a+4q=-24, a=-4,g=3 12 y=-4(x-1) ²+3 (y=-4x2+4x+2でもよい) p.142 基本事項 ① y=a(x-)²+1 軸がx=● (*) y=f(x)のグラフが 点 (s, t) を通る ⇔t=f(s) 注意 y=a(x-p+g と おいて進めたときは,この形 を最終の答えとしてもよい。 なお,本書では,右辺を展開 した y=ax2+bx+c の形の 式も併記した。 (S) 辺々を引いて 8a=-32 よって α=-4 第2式から 4g=12 よって g=3 間数を求め上 P 143 章 2次関数の最大・最小と決定 でる 10 る。 る。 2) D) とは な満 進 う。

（1）で解答では一般形で書かれているのですが、なぜですか。基本形ではない理由を教えてください。 答えは4x+5y+11=０です。

356 次の直線の方程式を求めよ。 *1) 点 (1,-3) を通り, 直線 4x+5y=2 に平行な直線 (2) 原点を通り, 直線y=-3x-1 に垂直な直線 *(3) 点 (3,7) を通り, 2点 (1,5),(4,4)を通る直線に垂直な直 線

なぜ赤線部のようにa=2とわかるのですか？教えてください🙏

P 平面の方程式 ★★★☆ 3点A(0, 1, -1), B(4, -1,-1),(3, 2, 1) を通る平面の方程式を求めよ。 89 ・平面の方程式を求めるには, 次の2通りの方法がある。 方針 1. p.561 で学んだように, 平面の方程式は通る1点と法線ベクトルで定まる。法線 ベクトルを n = (a,b,c) として, n⊥AB, LACからえを具体的に1つ定め, ベク トル方程式n. (p - α = 0 に当てはめる 方針 2. 求める平面の方程式をax+by+cz+d=0 として (一般形を利用), 通る3点の 座標を代入する。 1.平面の法線ベクトルを n = (a,b,c) (n=①) とする。 AB=(4,-2, 0), AC (3,1,2) であるから, AB より AB=0 よって 4a-26=0 ACより ・AC=0 よって 5 ① ② から b=2a, c=-— 2a wit n=(a, 2a, -5a)=(2, 4.-5) ゆえに 4, 0より、a≠0 であるから, n = (2,4, -5)とする。 よって、求める平面は,点A(0,1,-1)を通り, =(2,4, 3a+b+2c = 0 その方程式は 5)に垂直であるから, 2(x-0)+4(y-1)-5(z+1)=0 すなわち 2x+4y-5z-9=0.0)(T 2. 求める平面の方程式をax+by+cz+d=0 とすると A(0, 1, -1) を通るから b-c+d=0 B(4, -1, -1) を通るから 4a-b-c+d=0 C (3, 2, 1) を通るから 3a+2b+c+d=0・ ①~③から b=2a, c=-- よって、求める平面の方程式は 5 ax+2ay- a≠0 であるから 5 2a, d=-- 9 2a 9 2/az-2/²a=0 2x+4y-5z-9=0 ① もできる。 B 11 A C 563 分数を避けるために, a=2 としてnを定 めた。 一般に, 1つの平面 の法線ベクトルは無 数にある。 ②-① から 6=2a また, ③-① から 3a+b+2c=0 これからcをαで表 す。 ① から d=c-b これから da で表 す。 であり 2章 12 1 α = 0 のときは平面 の方程式にならない。 発展 平面の方程式,直線の方程式

（2）の方程式の求め方を教えて頂きたいです。下の参考ではなくもっと簡単に求める方法はありませんか？ 最初自分はPの中心を一般形に代入するのかと思っていたのですが違うみたいなので教えて頂きたいです。

500 重要 例題 77 球面のベクトル方程式 空間において,点A(0, 6, 0) を中心とする半径3の球面上を動く点Qを考える 更に, 原点を0,線分 OQ の中点をPとし, 点A, Q, P の位置ベクトルをそれ このとき, 点Pが満たすべクトル方程式を求めよ。 また, 点P(x, y, z) が描く ぞれ,i, とする。 [類 立命館大] 基本 39, p.494 基本事項 図形の方程式をx, y, z を用いて表せ。 指針 球面のベクトル方程式 [1] \p-c=r 中心C (C), 半径r [2] (-a) (-6)=0 [1] p C 解答 点Qは,点Aを中心とする半径3の球面上の点であるから, g-al=3 を満たす。 (s また,線分 Q の中点がPであるから, 5/12/10 すなわち g=2p である。 よって 2点A(a), B(L) が直径の両端 これは,平面で円を表すベクトル方程式と 同じ形である。 そこで, p.442 基本例題 39 と同じ要領で, いずれかの形を導く。 12p-al=3 3 図ゆえに,点Pが満たすベクトル方程式は1万100=12/0 (S & D) よって, 点Pは,中心 (0, 3,0), 半径 12/3の球面上にある。 x² + (y−3)²+z² = ²/ 9 よって s=2x,t=2y, u=2z これらを①に代入して (2x)+(2y-6)^+(2z)²=32 ゆえに C ゆえに,点Pが描く図形の方程式は x2+(y-3)+2=- $=s (8-)) 9 4 [2] P b Cass=32 11 +) 51KG [参考] [点Pが描く図形の方程式を、数学IIの軌跡の考え方で求める(数学ⅡI 例題 108 参照)] 点Qの座標を (s,t, u) とする。 kab- ■ s, t, u はつなぎの文字。 ① 点Qは,点Aを中心とする半径3の球面上の点であるから s'+(t-6)^+u²=32 線分OQの中点 S t u 1/2/12 ) が点Pと一致するから 2' 2 S u 12/2 = x 1/2=1/1/21=2 =y, ① 平 基 つなぎの文字 s, t,uを消 去する。 [

この問題はy=x+bの形で答えることはダメなんですか？

10 (1) 点(-1,3)を通り、直線 2x+3y=0 に平行な直線, 垂直な直線の方 程式をそれぞれ求めよ。 (2)(32) を通り, 2点(-3,-2),(5,7) を結ぶ線分に平行な直線, 垂直な直線の方程式をそれぞれ求めよ。 例題 40

写真の(3)のような3点を通る問題を一般形ではなく、基本形から展開して解くことって可能ですか？ (よければ計算の方もおねがいします…)

39 円の方程式 次の円の方程式を求めよ. (1) 点 (2,1)を中心とし, 点 (1,4)を通る円 (2 (32) (5, -8) を直径の両端とする円 2点 (3) 3点 (0, 4), (3, 1), (1, 1) を通る円 精講 円の方程式を求めるときは、与えられた条件によって次のどち の設定でスタートします。 Ⅰ. 中心 (a,b) や, 半径rがわかるとき (x-a)²+(y-b)²=² ⅡI. 中心も, 半径もわかりそうにないとき x2+y²+ax+by+c = 0 (1) 求める円の半径は 解答 √(2-1)²+(1-4)²=√10 よって, 求める円の方程式は (x-2)²+(y-1)²=10 (2) 中心は, (3,2), (58) を結ぶ線分の中点だから (4, -3) また,半径は√(4-3)²+(-3-2)^=√26 よって, 求める円の方程式は 2点間の距離 (x-4)²+(y+3)²=26 (3) 求める円を'+y^+ax+by+c=0 とおく. ①③' より b=6 これと①より c=8 よって, 求める円の方程式は x2+y²-4x-6y+8= 0 3点 (0, 4),(3, 1),(1, 1) を代入して | 46+c+16=0 ....... ① 3a+b+c+100 ...... ② la+b+c+2=0 ... ③ ②③ より α=-4 YA (1.4) (2.1) <中心も半径もわかり そうにないので 63 01