【解答)
半径1の球の中心をIとし,外接する正四面体を ABCD と
する。
点Aから平面 BCD に垂線 AH を下ろすと, Hは ABCD
の外心であり,ABCD は正三角形であるから重心でもある。
BH の延長と辺 CD の交点をMとすると,M は辺 CD の中
点であり,Iは平面 ABM 上にある.同じく,CH の延長と辺
BD の交点をLとすると,L は辺 BD の中点であり,Iは平面
ACL 上にもあるから,Iは AH 上にあり,BI I AM である。
A
D
M
B
H
BM:HM = 3:1かつ AM = BM
C
だから
AM:HM = 3:1
A
である。IM は ZAMH の二等分線であるから
AI:IH = AM:MH = 3:1
よって,正四面体の高さ AH は
AH = 4× IH= 4
(答)
である。
B
H
M