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基本例題 151/3倍角の公式の利用
半径1の円に内接する正五角形 ABCDEの1辺の長さをαとし,0=2.
080057
(1) 等式 sin 30+ sin20 0 が成り立つことを証明せよ。
(2) cose の値を求めよ。
り (3) αの値を求めよ。
(4) 線分ACの長さを求めよ。 時間
最
p.233 基本事項
指針▷ (1) 30+20=2πであることに着目。なお, 0 を度数法で表すと 72°である。
(2)
(1) の等式を2倍角・3倍角の公式を用いて変形すると
(1) は (2) のヒント
{0}
COSOの2次方程式を導くことができる。 0<cos0 <1に注意して, その方程式を解く
(3), (4) 余弦定理を利用する。 (4) では, (2) の方程式も利用するとよい｡
解答
(1) 0から 50=2π
このとき
したがって
(2) (1) の等式から
sin 0 0 であるから, 両辺を sin0で割って
3-4sin20+2cos0= 0
3-4 (1-cos20) +2cos0=0
4cos20+2cos0-1=0
The
ゆえに
整理して
sin30=sin(2π-20)=-sin20
sin 30+sin 20=0
よって
3 sin 0-4 sin³ 0+2 sin 0 cos 0=0
0 <cos0 <1であるから
(3) 円の中心を0とすると, △OAB において,余弦定理により
AB²=OA²+OB²-20A OB cos
05(1-02005){(
AC > 0 であるから
AC=
cos 0=1+√5
4
=12+12-2・1・1・ -1+√5-5-√5
4
a>0 であるから a=AB=
(4) △OAC において, 余弦定理により
AC2=OA2+OC2-20A・OC cos 20
30=2π-2050=30+20
5-√5
2
+2. −1+
4
(*)
=12+12-2・1・1・cos20=2-2(2cos20-1)
=4-4cos20=4-(1-2cost)=3+2cos
2
-1+√5
(2) の(*)から。
5+√5
V 2
練習
11 ) 0=18° のとき, sin20 = cos30 が成り立つ
3倍角の公式
sin30=3sin0-4sin't
忘れたら, 30=28+0とし
て, 加法定理と2倍角の
式から導く。
(3)
BA
(4)
B
C
C
2751
a 1
1 0
D
め
※加注
でに
(1) 0=36°のとき, sin30= sin20 が成り立つことを示し, COS 36°の値を求め
ある
次
sin
co:
