1.3
y=2x2-1
次の連立方程式(*)を考える.
(*)
z=2y2-1
x=2z2-1
(1)(x,y,z)=(a,b,c)が (*)の実数解であるとき, als, BS11であることを示せ
(2)(*)は全部で8組の相異なる実数解をもつことを示せ .
解説
(1) |a|>1と仮定すると,
よって,
2a²−1>|a|
このとき
b>|a|>1
b,c に同じ議論を繰り返して,
1<la<b<c<a となるから 矛盾である.
よって,
lal ≤1
b,c についても同様にして
|a|≦1,|6|≦1, ||≦1 が成り立つ. (証明終)
(2) (1)より
a=cost (0≦O™) とおける.
このとき、倍角の公式より b=2a²-1=cos20
c=262-1=cos40
cos 80 = cos 0
2nT
9
よって,
0=
より
OOT より 0=0
a=2c2-1=cos80
2nT
7
2a2-1-|a|=2|a|2-|a|-1=(2|a|+1)(a-1)>0 より
0=
よって,
(別解) (*)からyを消去して
z=8x4-8x2+1
A+ A+ d <A
80=±0+2nπ (nは整数) (+5)+
S
2 kπ
9
(*)は全部で8組の相異なる実数解をもつ.
1=D+x5+²x Jun
x=2z2-1
相異なる8つの共有点 (x, z) をもつ
よって,
C
SV >x>I
2つの曲線の概形は右図のようになり,
(*)は8組の相異なる実数解をもつ.0
# 0=³x+od+b=(d
(S>J>0)
(k=1,2,3,4) 0=21 (1=1, 2, 3)
7
GEO
1
10=(SE-MC0S0S-N 0≤(0-NJ
-1
O
√2
z=8x48x2+1
+8=> 0\+ 8 => 1
5+ (5+5)\+6−
ZA
y=2x2-10
//
12
y=x
1
√√2
1 x
Os>>
x=222-1
1x