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基本例 124 領域と1次式の最大・
000
x,yが2つの不等式xyy-2x+5 を満たすとき, x+yの最大
び最小値を求めよ。
指針 連立不等式の表す領域 A を図示し, x+y=kとおいて,直線x+y=kが簡
有点をもつようなんの値の範囲を調べる。 境界線に円弧が現れるが、このような
には、領域の端の点や円弧との接点でkの値が最大・最小になることが多い
看
検討
"=k" &
例題 12
直
最小値:
みよう
円x2+
をP(1
すると
更に,
領域と最大・最小
CHART 多角形
頂点 境界線上の点
放物線・円 → 角(かど)の点、接点
に注目
であ
の傾
に分
x2+y2=10..
解答 ②①に代入すると
......
①y=-2x+5
......
②とする。
x2+(-2x+5)=10
傾
整理して
x2-4x+3=0
x=1,3
よって
10-
x=3のとき y=-1
x=1のとき y=3,
②から
ゆえに,円 ①と直線 ② の共有点の座標は
①
-10
0
(1, 3), (3, -1)
連立不等式 x2+y'≦10, y≧-2x+5 の表す領域 A は
図の斜線部分である。 ただし、 境界線を含む。
10
③
x+y=k
とおくと,これは傾き-1, y切片んの直線を表す。
図から直線③が円 ① と第1象限で接するとき,kの値
は最大になる。
① ③ を連立して x2+(k-x)^2=10
整理して
2x2-2kx+k2-10=0
xの2次方程式④ の判別式をDとすると
D
2=(-k)-2(k^-10)=-k²+20
4
直線 ③が円 ①に接するための条件は
よって -k'+20=0
ゆえに
D=0
k=±2√5
第1象限ではx>0,y>0であるから, ③よりk>0で
k=2√5
このとき ④の重解は
-2.2/5 31
x=-
==
=√5
2-2
③から
次に、直線②の傾きは-2, 直線 ③の傾きは -1 で,
y=2√5-√√5=√√5
-2<-1であるから,図より,kの値が最小となるのは,
直線 ③が点 (3,-1) を通るときである。
このときの値は
3+(-1)=2
したがって
x=√5,y=√5のとき最大値 2√5;
x=3, y=1のとき最小値 2
<直線 y=-x+kを
Aと共有点を
平行移動
片kの値が最大
ところをさがす
T
■2次方程式
ax²+bx+c=
が重解をもつとき
重解はx=20
直線 ②と③の
較。
練習
③ 124
