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基本(例題 21 数列の極限 (4) ･･･ はさみうちの原理 1
00000
COS Nл
また、
(1) 極限 lim
を求めよ。
88U
n
1
(2) an=
+
+......+
とするとき, liman を求めよ。
n2+1 n2+2
n²+n
n→∞
P.34 基本事項
が成り立
の極限は
二偽である
818
(1) an
(2)
指針 極限が直接求めにくい場合は、はさみうちの原理 の利用を考える。
はさみうちの原理 すべてのn について an≦cn≦bm のとき
liman=limb =α ならば limc=α (不等式の等号がなくても成立)
COS Nл
1
n²+k
n
n²
12100
bm の形を作る。 それには, かくれた条件-1≦cos 0≦1 を利用。
CHART 求めにくい極限 不等式利用ではさみうち
< 1/12s (k=1,2,....... n)に着目して, an の各項を
1
におき換えてみる。
n²
2章
③数列の極限
a
JR
解答
12700
1
1
n
(2)
n²+k
n²
(1)-1≦cOS ≦1であるから
lim(-1/2)-0. lim
0.lim=0 であるから
U00211
(k=1, 2, ...,
n) であるから
1
COS Nπ 1
S
各辺をnで割る。
n
n
n
COS Nπ
lim
=0
はさみうちの原理。
n→∞
n
<n²+k>n>0
1
1
1
an=
+
+......+
n2+1
n2+2
n²+n
1
1
1
<-
+
十
+
•n=.
n²
n2
n²
n²
n
はない)
1
よってokan</
lim -= 0 であるから lima=0
■各項を12でおき換える。
0≦liman≦0
non
8211
という言葉
はない。大学
C
検討
n=no+1, mt
べてこの範囲に
E
はさみうちの原理を利用するときのポイント
00+26
はさみうちの原理を用いて数列{c} の極限を求める場合,次の①②の2点がポイントと
なる。
① an≦cn≦bn を満たす2つの数列{an},{bm} を見つける。
② 2つの数列{a}, {bm}の極限は同じ これをα とする)。
なお, ① に関して, 数列{an}, {bn} は定数の数列でもよい。
練習 次の極限を求めよ。
① ② が満たされ
-
たとき limc=α
→∞
(2) lim
+
++
(n+1)2 (n+2)2
(2n)2
1
1
+
・+
p.59 EX16
√n²+n
③ 21
(1) lim
1
る。
1
non+1
2
(3) lim (√ m² + 1 + √ m² + 2
n→∞
-sin-
Nπ
る。
