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基本 例題 30
整数解の組の個数 (重複組合せ
(1) x+y+z=7 を満たす負でない整数解の組 (x, y, z)は何個あるか
(2)x+y+z=10 を満たす正の整数解の組 (x, y, z) は何個あるか。
CHART & THINKING
整数解の組の個数 ○と仕切りの活用
p.294 基本事項 3.基本2
(1) 直接数え上げるのは大変である。 問題を読みかえて, x, y, z の異なる3個の文字か
重複を許して7個の文字を取り出すと考えよう。 すなわち 7個の〇と2個の仕切りの
順列を考え、 仕切りで分けられた3つの部分の○の個数を, 左から順に x,y,z}
例えば 000100100 には
(x, y, z)=(3,2,2)
(x, y, z)=(0, 2, 5)
180100000には
がそれぞれ対応する。
ぇとする
(2) x,y,z が正の整数であることに注意。 (1)の考え方では0となる場合も含むから
x-1=X, y-1=Y, z-1=Z
とおき, 0であってもよい X≧ 0, 0, Z≧0 の整数解の場合 ((1) と同じ)に帰着させ
る。これは,10個の○のうち,まず1個ずつをx, y, zに割り振ってから、残った7個の
○と2個の仕切り | を並べることと同じである。
また,別解のように、10個の○と2個の仕切りを使う方法でも考えてみよう。
答
(1)求める整数解の組の個数は, 7個の○と2個のを1列 解 求める整数解の組の
に並べる順列の総数と同じであるから
9C7=9C2=36 (1)
(2) x-1=X,y-1=Y, z-1=Z とおくと
X≧0, Y≧0,Z≧0
このとき, x+y+z=10 から
個数は、3種類の文字
zから重複を許して7個取
組合の総数に等しいか
5 3H7=3+7-1C7=9C7
=gC2=36(個)
重要 例
次の第
(1) 0
CHA
大小
(1)
(2)
(X+1)+(Y+1)+(Z+1)=10
x=X+1, y=Y+1,
よって
(別解
X+Y+Z=7, X≧0, Y≧0,Z≧0..
求める正の整数解の組の個数は、 A を満たす0以上の整数
解 X, Y, Zの組の個数に等しいから, (1) の結果より 36個
10個の○を並べる。 00
A
z=Z+1 を代入。
このとき,○と○の間の9か所から2つを選んで仕切りを
入れ A|B|C
例えば
としたときの,A, B, C の部分にある○の数をそれぞれx,
y, z とすると,解が1つ決まるから 9C2=36 (1)
00100000
1000
(x, y, z)=(2, 5, 3)
を表す。
PRACTICE 30º
