-
![]()
基本例題
115 2次不等式の応用 (1)
2次方程式2xkx+k+1=0が実数解をもたないような, 定数kの値の範
囲を求めよ。
2xの方程式 mx²+(m-3)x+1=0の実数解の個数を求めよ。
指針p.156で学んだように, 2次方程式 ax²+bx+c=0 の実数解の有無や個数は,
実数解の個数
2個
1個
0個
に注意。m=0と0の場合に分けて考える。
判別式D=62-4ac の符号で決まる。
異なる2つの実数解をもつ
(2)
⇔D>O
ただ1つの実数解(重解)をもつ⇔D=0
実数解をもたない
⇒D<0
の係数
解答
(1) 2次方程式2x²-kx+k+1=0 が実数解をもたないための
必要十分条件は,判別式をDとすると
D<0
D=(-k)²-4•2(k+1)=k-8k-8から
8k-80を解くと
k=4±2√6
4-2√6 <h<4+2√6
よって
2) mx2+(m-3)x+1=0
[1] m=0のとき, ① は
① とする｡
-3x+1=0
これを解くと x=
1
よって, 実数解は1個。
3
[2] m=0のとき, ① は2次方程式で, 判別式をDとする
k²-8k-8<0
D=(m-3)2-4·m·1=m²-10m+9=(m-1)(m-9)
D0 となるのは, (m-1)(m-9)>0のときである。
これを解いて
m<1,9<m
_m=0であるから m<0, 0<m<1, 9<m
このとき, 実数解は2個。
D=0 となるのは, (m-1)(m-9)=0のときである。
これを解いて
m=1.9 このとき, 実数解は1個。
D<0 となるのは, (m-1)(m-9)<0のときである。
1<m<9 このとき, 実数解は0個。
これを解いて
以上により
m<0,0<m<1,9<mのとき 2個
= 0, 1,9のとき 1個
1 <m<9のとき 0個
基本97
=(-4)±√(-4)-1-(-8)
<(x-a)(x-β)<0 (a <B)
a<x<B
183
問題文に2次方程式と書
かれていないから、2次の
係数が0となるm=0 の場
合を見落とさないように。
m=0 の場合は1次方程式
となるから、判別式は使え
ない。この点に注意が必要。
<単にm<1,9Kmだけで
は誤り
である
ことを忘れずに。
1<m<9の範囲にm=0
は含まれていない。
[1] [2] の結果をまとめる。
