基本 例題 155 曲線 F(x, y) = 0 と面積 良介
曲線 2x2+y+y2=1 によって囲まれた部分の面積Sを求めよ。
.88
CHART & SOLUTION
曲線 F(x, y) = 0 と面積
y=(x の式)と変形したグラフを考える
重要 88, 基本 152
与えられた曲線の方程式を y=f(x)の形に変形し、定義域や増減を調べてグラフをかく。
対称性も利用する。
[注意]x軸対称: f(x, -y)=f(x, y)
軸対称: f(x,y)=f(x,y)
原点対称: f(-x, -y)=f(x, y)
解答
2x2+2xy+y2=1から
y2+2xy+2x2-1=0
80-1200-1
yについて解くと
y=-x±√x2-(2x2-1)
=-x±√1-x2
015030020
f(x)=-x+√1-x2, g(x)=-x-√1-x2とする。
1-x2≧0 であるから, f(x) g(x)の定義域は
√1-x2+x
-2x
f'(x)=-1+
2√1-x2
f'(x) =0 とすると
√1-x2=-x
両辺を2乗して
1-x2=x2
よってx=±1/1
①
yについて整理し,解の
公式を用いて解く。
a (1200-1)D=x
(1-x2)={(1-x2)/2
=1/2(1-x2)-12(1-2)
10
① を満たすものは x=-- √2
f(x) の増減表は右のようになる。
また
g(-x)=-(-x)-1-(-x)^
x
-1
f'(x)
√21
+ 0
1
極大
f(x) 1
>
>
√2
-1
247
=x-√1-x2=-f(x) thaia
よって, y=f(x) のグラフと y=g(x) のグラフは原点に
関して対称であるから, 曲線の概形は,図のようになる。
定義域内では,f(x)≧g(x) であるから, 求める面積Sは
S=S_{f(x)-g(x)dx=21-xdx.
-x21
Sixx は、半径1の円の面積の1/2を表すから
S=2.12-
=π
2
y=f(x)2
-1 0
Caar
-17
とで
1 で表し
1
y=g(x)
x
