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重要 例題 9 既約分数の和
0000
は素数,m, n は正の整数でm<nとする。 mとnの間にあって,かを分
する既約分数の総和を求めよ。
10/19
指針
10 11
9
7 8
3' 3'3'3'
12 13
3'3'
であり,既約分数の和は(*)の和から,3と4を引くことで求められる。
解答る。
pm<g<pnであるから
g=pm+1,pm+2,
pn-1
g_pm+1pm+2
pn-1
よって
①初項 pm+1
p
Þ
p
Þ
・ 公差
これらの和をS とすると
の等差数列。
(pn-1)-(pm+1)+1/
S₁=
1
( pm + 1
+
S=(a+1)
p
このように、全体の和から整数の和を除く方針
で求める。
まず,g を自然数として,m<<nを満たす
2と5の間にある整数である。
を求め 「との間であ
ら、両端のと
まない。
まず、具体的な値で考えてみよう。 例えば, 2と5の間にあって3を分母とする分析
等
14
3'3
の
(*)
の
(*)は等差数列であり、3と
=pn-pm-1(m+n)
2
①のうち, が整数となるものは
Þ
q =m+1,m+2,......, n-1
Þ
mnの間にある整
これらの和をS2 とすると
(n-1)-(m+1)+1
S2=
-{(m+1)+(n-1)}
◄S.= n(a+1)
2
n-m-1
=
2
-(m+n)
ゆえに、求める総和をSとすると, S=S-S2 であるから
s=pn-pm-1(m+n)- n-m-1
2
2
= 1/1/1 (m+n)
=
2
(m+n){(n-m)p-(n-m)}
-1212(m+n)(n-m) (p-1)
(m+n)
(全体の和) (整数の
