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基本例題 99 曲線上の動点に連動する点の軌跡
点Qが円x2+y2=9 上を動くとき, 点A(1, 2) とQを結ぶ線分AQを2:1
に内分する点Pの軌跡を求めよ。
CHART SOLUTION
連動して動く点の軌跡
解答
Q(s,t), P(x, y) とする
Qは円x2+y2=9 上の点であるから
s2+t2=9
Pは線分AQ を 2:1に内分する点であるから
y=
つなぎの文字を消去して, x, yだけの関係式を導くた
動点Qの座標を(s,t), それにともなって動く点Pの座標を(x,y) とする。Qの
条件を stを用いた式で表し,P,Qの関係から,s,tをそれぞれx,yで表す。
これをQの条件式に代入して, s, t を消去する。・・・・・
1.1+2s 1+2s
2+1
3
3y-2
x=-
3x-1
=
t=-
(2)
よって
S=
問
これを①に代入すると (3x^1)+(3/22) 2
=9
1\2 9
ゆえに
(x-3)² + 2/(x-²)² = 9
V-
4
よって (x-12312+(y-12/3)=4.….… ②
したがって, 点Pは円②上にある。
逆に,円 ② 上の任意の点は,条件を満たす。
以上から, 求める軌跡は
²
1•2+2t
2+1
中心
=
9
2+2t
3
|p.151 基本事項 1
(0-2)8
$=$
LOOR
を満たすも
2
半径2の円
O
(s,t)
Q
-3|
YA
0
基本 101
A
(1, 2)
BATAS
I
P(x,y)
-3
つなぎの文字 s, tを
去。 これによりPの条
件 (x,yの方程式) が得
られる。
VANUS
220-2300 23
円という
POINT 曲線 f(x,y)=0 上の動点 (s,t) に連動する点 (x,y) の軌跡
①点 (s,t) は曲線 f(x, y)=0 上の点であるから f(s,t)=0
s, tをそれぞれx,yで表す。
③ f(s,t)=0 に②を代入して,s, t を消去する。途中で