この方程式が2重解を持つ場合の【1】【2】の意味が分かりません 因数分解までは出来ました；；

基本例題65 3次方程式が2重解をもつ条件 3次方程式x3+(a-2)x²-4a=0が2重解をもつように、 実数の定数αの値を定 めよ｡ [類 東北学院大] 基本63 指針 方程式 (x-3)(x+2)=0の解x=3を, この方程式の2重解 という。 また 方程式(x+2)(x-2)=0の解x=-2を,この方程式の3重解という。 まず, 方程式の左辺を因数分解して, (1次式)×(2次式)=0 の形に直す。 方程式が (x-α)(x2+px+q)=0 と分解されたなら, 2重解をもつ条件は [1] x2+px+q=0が重解をもち,その重解はx=α [2]x2+px+q=0がαとα以外の解をもつ。 → 2重解はx=α であるが,一方の条件を見落とすことがあるので、 注意が必要である。 0 解答 与えられた3次方程式の左辺をαについて整理すると (x2-4)a+x3-2x2=0 fr (x+2)(x-2)a+x2(x-2)=0 (x-2){x2+(x+2)a}=0 7²-56-06- (x-2)(x2+ax+2a)=0 なお, [1] は, 2次方程式の重解条件と似ているが, 重解がxキαである (x = αが3重解で はない)ことを必ず確認するように。 a -キ2から 2.1 CD=3+ x-2=0 または x2+ax+2a=0 よって この3次方程式が2重解をもつのは,次の [1] または [2] の場 82=18 30 合である。 DIRO [1] x2+ax+2a=0がx=2の重解をもつ。 2次方程式 D = 0 かつ 判別式をDとすると Ax2+Bx+C=0 の重解は D=α²-4・1・2a=a(a−8)であり, D=0 とすると α=0,8 B) ここで, aキー4 a=0, 8はαキー4 を満たす。 [2]x+ax+2a=0の解の1つが2で、他の解が2でない。 2が解であるための条件は 22+α・2+2a=0 これを解いて a=-1 このとき, 方程式は したがって ゆえに,x=2は2重解である。 以上から a=-1, 0, 8 a 2･1 ≠2 (x-2)(x-x-2)=0 (x-2)^(x+1)=0 A 次数が最低のについて 整理する。 また P(x)=x³+(a-2)x²-4a とするとP(2)=0 よって, P(x) は x-2を因 数にもつ。 これを利用して因数分解し てもよい。 0=2+88 105 x=- ()24 2章 ① について 11 高次方程式 [2] 他の解が2でないとい う条件を次のように考えても い。 他の解をβとすると,解と 係数の関係から 2β=2a β=2 から a=2

この問題の3についてで、 解説の下の方にa🟰1は3重解だから❌、a🟰➖2は3つの実数解をもっと書いてあるのですが、どういうことでしょうか？ aを①(問題文)に代入してもpとqは消えないし、、ましてや3重解とは？ってなってます、 教えてください🙇‍♀️

12 方程式x-3x+2(1-p)x+q=0…..…① があり、x=1は方程式 ① の解の1つである。ただ し,p, g は実数の定数である。 (1) g をを用いて表せ。 (2) 方程式①の左辺を因数分解せよ。 (3)方程式 ① の解がすべて実数であるとき, かのとり得る値の範囲を求めよ。 また, 方程式 ① が異 なる3つの実数解をもち, x=1以外の2つの解のうち一方が他方の平方となるようなpの値を 求めよ。 21.0%

65. 指針について質問です。 (x-1)^3の解x=1は3重解ですか？？

gl 基本例題 65 3次方程式が2重解をもつ条件 00000 3次方程式x+(a−2)x²-44=0が2重解をもつように,実数の定数aの値を定 めよ。 類 東北学院大] 基本 63 指針 方程式 (x-3)^(x+2)=0の解x=3をこの方程式の2重解という。また, 方程式(x+2)(x-2)=0の解x=-2をこの方程式の3重解という。 まず, 方程式の左辺を因数分解して,(1次式) × (2次式) = 0 の形に直す。 方程式が (x-a)(x2+px+q)=0と分解されたなら, 2重解をもつ条件は [1] x2+px+q=0が重解をもち,その重解はxキα [2] x2+px+q= 0 が α と α以外の解をもつ。 2重解はx=α であるが,一方の条件を見落とすことがあるので、注意が必要である。 なお, [1] は, 2次方程式の重解条件と似ているが, 重解がxキα である (x =α が 3重解で はない)ことを必ず確認するように。 解答 与えられた3次方程式の左辺をαについて整理すると ENG (x2-4)a+x-2x²=0 (x+2)(x-2)a+x2(x-2)=0 (x-2){x2+(x+2)a}=0 (x-2)(x2+ax+2a) = 0 =(-| よって x-2=0 または x2+ax+2a=03= この3次方程式が2重解をもつのは,次の [1] または [2] の場 合である。 [1] x2+ax+2a=0がx=2の重解をもつ。 a 判別式をDとすると D = 0 かつ 2.1 D=α²-4・1・2a=a(a−8)であり, D=0 とすると α=0,8 ここで, a = 0, 8はαキー4 を満たす。 [2] x2+ax+2a=0の解の1つが2で,他の解が2でない。 2が解であるための条件は 22+α・2+2a=0 これを解いて a=-1 このとき, 方程式は したがって ゆえに, x=2は2重解である。 以上から α = -1, 0,8 a≠2から 2.1 αキー4 ≠2 (x-2)(x2-x-2)=0 (x-2)(x+1)=0 3次方程式x+(a+1)x²-a=0 2 8+6 次数が最低のαについて 整理する。 また P(x)=x3+(a-2)x²-4a とするとP(2)=0 よって, P(x) は x-2を因 数にもつ。 これを利用して因数分解し てもよい。 2次方程式 Ax2+Bx+C=0 の重解は x=- (1-3 B 2A [2] 他の解が2でない,とい う条件を次のように考えても い｡ 他の解をβとすると解と 係数の関係から 2β=2a β=2 から a=2 ① について 105 2章 11 高次方程式

なぜ重解と虚数解のとき、そしてx=0のとき極大を持たないのか本当にわかりません。

数αの 基本216 とすると 3 で表し、 きる。 とする! るので、 B 0 + 極小 0 もつとき 2乗し 240 (1) 古屋大] 218 00000 f(x)=x-8x+18kx2が極大値をもたないとき,定数kの値の範囲を求め [福島大〕 基本 211.214 ⑩ 4次関数f(x) x=pで極大値をもつ x=pの前後で3次関数f(x) の符号が正から負に変わる であるから,f'(x) の符号が「正から負に変わらない」 条件を 考える。 3次関数f'(x)のグラフとx軸の上下関係をイメー ジするとよい。 なお, 解答の右横の図はy=x(x²-6x+9k) のグラフである f(x)=4x²-24x²+36kx=4x(r2-6x+9k) f(x)が極大値をもたないための条件は,f'(x)=0 の実数 解の前後でf'(x) の符号が正から負に変わらないことであ ある。このことは、 f'(x)のxの係数は正であるから、3次 方程式f'(x)=0 が異なる3つの実数解をもたないことと 同じである。 f'(x)=0 とすると x=0 / または x²6x+9k#0 よって、求める条件は、x6x+k=0が [] 重解または虚数解をもつ [2] [1] 6x19k-0の判別式を!と 2=(-3)2-9k=9(1-k)であるから 4 よって したがっ 4 次関数が極大値をもたない条件 極値もたんD=0,PKO [2]x²5x+9k=0 に x=0を代入すると k=0, k≧1 異なる3実数解 By (3つある。 1-k≤0 (①の前後でさがする、持してる のはもたら でこ x=0を解にもつ ると ≤0 キ 極 小 α=Br k=0 ル 極 a β=y x f'(x) XX=08214²²4²37813! 8 f(x) 極大 k≥1 a k=0 + ya 0 あっとき 山鹿 k>1/ 3つもたん D k=1 3つもにひ [4次関数の極値とグラフ] 一般に, 4 次関数f(x) [ 4 次の係数は正] に対し, f'(x) = 0 は 3次方程式で,少なくとも1つの実数解をもつ。その実数解をαとし、他の2つの解が実数で あれば B., y とする。このとき, y=f(x)のグラフは,次のように分類できる。 特に、極大値をと るのは①の場合だけである。 次の係数が負のときは,図の上下が逆になり, 極大と極小が入れ替わる。) WHEA 夕 347 ② 2重解ともう1つの実数解 ③ 1つの実数解と異なる2つの虚数解 または3重解 (α=β=y) a=β<y, a<β=y www 極 a 22 INA fish 小 p.348 EX 141 (218) ただ f(x)=x^+4x+αx² について,次の条件を満たす定数aの値の範囲を求めよ。 (2) 極大値と極小値をもつ。 6 章 関数の増減と極大・極小 あらから 得 容 大き の紹介 広く ト式復刻版1 ご購入はこち

数2微分の問題です。 K＝0の場合なんですけどこれは極大値ではないのでしょうか、、、？

10 指針 例題 重要例 関数f(x)=x^-8x² +18kx2 が極大値をもたないとき,定数kの値の範囲を求め thes/ED 基本 211 214 10 2184 次関数が極大値をもたない条件 4次関数f(x)がx=pで極大値をもつ x x=eの前後で3次関数f'(x) の符号が正から負に変わる f'(x) + であるから,f'(x) の符号が「正から負に変わらない」条件を 考える。 3次関数f'(x)のグラフとx軸の上下関係をイメー f(x) 大 ジするとよい。 なお, 解答の右横の図はy=x(x2-6x+9k) のグラフである。 (g(x) | f'(x)=4x³—24x²+36kx=4x(x²-6x+9k) 解答f(x) が極大値をもたないための条件は,(x)=0 の実数 解の前後でf'(x) の符号が正から負に変わらないことであ る。このことは,f'(x)のxの係数は正であるから、3次 方程式 f'(x) = 0 が異なる3つの実数解をもたないことと もし3つの解をもつと必ず極大値が存在する. 同じである。 x = 0 または x2-6x+9k=0 f'(x)=0 とすると よって, 求める条件は, x2-6x+9k=0 が [1] 重解または虚数解をもつ [2]x=0を解にもつ [1] x2-6x+9k=0 の判別式をDとすると D≦0 極 小 か~こびと点線をつくらないようにする =(-3)²2-9k=9(1-k)であるから Fac よって k≧1 | or [2]x2-6x+9k=0にx=0を代入すると ゆるカーブしたがって k=0, k≧1 ①異なる3実数解 (a <By とする) α 極大 g!!!! っぽ定口以上 あるこのう 極 小 B Y 杉やろ ①実×3 362 人 るのは ① の場合だけである。 ( 4 次の係数が負のときは,図の上下が逆になり,極大と極小が入れ替わる。) ② 2重解ともう1つの実数解 α=B<y, a<β=y W 極 極 小 1-k≦ 0 k=0 [福島大〕 a=B a_B=y ② 実×2・唐1③実1 ×2(重) 00000 一般に, 4次関数f(x) [4次の係数は正] に対し, f'(x)=0 は [参考] [4次関数の極値とグラフ] 3次方程式で,少なくとも1つの実数解をもつ。 その実数解をαとし、他の2つの解が実数で あれば β, y とする。このとき, y=f(x)のグラフは,次のように分類できる。特に,極大値をと k≧1 極 小 4x (x² - 6x +91) or. 餅を1つだけにすればよい I ... O α 重×3 yA p 20 k>1/ k=1 R 16 f(0)が異なる3つの 解をもつことが 条件 ③ 1つの実数解と異なる2つの虚数解 または3重解 (α=β=y) ww 極 4 x 347 INI 極 小

（2）の問題ですが、⑴で出た答え以外。として、答えを出すのは不十分なのでしょうか。

.28 第2章 高次方程式 Think 例題64 3次方程式と実数解 αを実数の定数とする. 3次方程式x+(a-1)x²+(a-3)x-2a+3=0 について 次の問いに答えよ. (1) 重解をもつように,定数aの値を定め、そのときの重解を求めよ、 (2) 異なる3つの実数解をもつように,定数aの値の範囲を定めよ [考え方 まずは、次数の最も低いα について整理し、3 *) 0 xの1次式)×(xの2次式) P(x) はーー 252310 の形に因数分解する. (1) 2次方程式の解が, 1次方程式の解を含む」場合と,2次方程式が重解をい (2) 2次方程式が異なる2つの実数解をもち、かつ2次方程式の解が1次方程式 場合の2通りが考えられる. x)/(E を含まない場合である. Pk8- 解答 (1) f(x)=x2+(a-1)x+(a−3)x-2a+3 と する. J+x81- a について整理すると,z+ f(x)=x2+(a-1)x²+(a-3)x-2a+3 =(x²+x-2)a+x³-x²-3x +3 =(x-1){(x+2)a+x°-3} =(x-1)(x2+ax+2a-3) -3(x-1) より, f(x) は x-1 を因数に 1枚分解平は もつ. ご教の低い文字で//=(x+2)(x-1)a+x2(x-1)^-1d0+(a-3)・1-2a+3 これを利用して因数分解して よい. 「組立除法 (+508 +S) 11 a-1a-3-2a+3 a 20-3 f(x)=0 とすると, x-1=0 または x2+ax+2a-3=0 したがって, f(x)=0が重解をもつのは, 次の2通りの場合である。 (i)x+ax+2a-3=0 が x=1 を解 にもつ (i)x+ax+2a-3=0が重解をもつ (i)のとき,x=1 が解であるから 1'+α・1+2a-3=0 より, a=- 2014 D=a²-4(2a-3)) p =a²-8a+12 =(a-2)(a-6) したがって £), a=2, 6 重解はx=-- 32 (Ⅱ) のとき、x2+ax+2a-3=0 の判別式を Dとすると、重解をもつので、D=0である。 77 (-2)(46)=0 a 2 より, 次数の低い文字で整理して a a=2のとき a=6のとき, 数分解する. f(1)=13+(a-1)・12 x=-1 x=-3 ²SC 1 IS-₂0 1=5 1&V+S=x1 1 a -dp4 x=1 が重解 残りの解は、 2 84-206 (x-1)x+ 5000+ - 0 を解いて 3 20-1 +8 √(x + 3) = 18-9085 よ より、メー り (S=4510082 0=0 10 (+S) 3010 max²+bx+c=0 ( a = 0) 4th b をもつとき、x=- 2a のの重解を求める。 a=2,a=6のそれぞ

こちらの問題についてです。答えは以下の通りなのですが、黄色で線引きした部分で、なぜP(k)＝0とあるように、kを代入したら＝0になるとわかるのですか？？普通は数字を代入しようと思うのですが、、教えていただきたいです！、

例題 12 考え方 解 高次方程式の解の判別 方程式 - (2k+1)x2+(k+k+1)x-k=0… ① の実数解がただ1つと なるように、 定数kの値の範囲を定めよ。 ただし, 重解は1つと数える。 13 ↑とりあえず実数が十 方程式の解は, 3重解か, または実数解1つと異なる2つの虚数解である。 P(x)=x- (2k+1)x²+(k+k+1)x-k とおく。 xkを代入すると 20になる。 これより, 方程式 ① の左辺を因数分解すると (x-k){x²-(k+1)x+1}=0 よって または x-(k+1)x+1 = 0 x= k = したがって, ① がただ1つの実数解をもつのは, 2次方程式 x²-(k+1)x+1 = 0 ... ② が もう決まった (i) x = kを重解にもつ (ii) 異なる2つの虚数解をもつ のいずれかが成り立つときである。 (i) のとき, ② に x = k を代入すると k² − (k+1)k+1=0 k=1 このとき, ② は x2-2x+1=0 となり, (x-1)=0 より x = 1 を重解にもつ。 (i) のとき, ② の判別式をDとすると, D= (k+1)^-4<0より −3<k<1 (i),(ii)より -3<k≦1 14P(k)=0 であるから, P(x)はxんを因数にもつ。 201

グレーで線引きした部分の因数分解のやり方を教えてください！！

高次方程式の解の判別 方程式x- (2k+1)x2 +(k+k+1)x-k=0 ･･･ ① の実数解がただ1つと なるように、 定数kの値の範囲を定めよ。 ただし, 重解は1つと数える。 ↑ としあえず実数がブ 方程式の解は, 3重解か, または実数解1つと異なる2つの虚数解である。 P(x)=x- (2k+1)x² +(k²+k+1)x-k とおく。 4P(k)=0 であるから, P(x)はxんを因数にもつ。 これより, 方程式 ① の左辺を因数分解すると (x − k){x² − (k+1)x+1} = 0 よって x = k または x2 - (k +1)x+1 = 0 |____|___x² − (k + 1) x + 1 = 0 したがって, ① がただ1つの実数解をもつのは, 2次方程式 ··· @ ₺³ 定め (i) x =kを重解にもつ (ii) 異なる2つの虚数解をもつ のいずれかが成り立つときである。 (i) のとき, ② に x = k を代入すると 例題 12 考え方 |解 x²(k+1)x+1=02³ kを代入すると 201578 k-(k+1)k+1 = 0 k=1 このとき ② は x2-2x+1=0 となり, (x-1)2 =0 より x =1 を重解にもつ。 -3<k<1 (i) のとき, ② の判別式をDとすると, D = (k+1) - 4 < 0 より (i), (ii) より -3<k ≦1

この問題がf(a)×f(-a)の解を場合分けしている理由がわからないです。解説お願いします。

392 第6章 微分法 Check 例題221 実数解の個数 (2) 3次方程式x-3a²x+4a=0 が異なる3つの実数解をもつとする. 定 数αの値の範囲を求めよ. 考え方 例題 220 (p.391) のように定数を分離しにくい. このような場合は、次のように3次関 数のグラフとx軸の位置関係を考える. f(a) f(B) <0 y=f(x)] AJ. x 3次方程式f(x)=0 が異なる3つの実数解をもつ mň mn ⇔y=f(x) のグラフがx軸と3点で交わる mü ⇔ (極大値)>0 かつ (極小値) <0 ← (極大値)× ( 極小値) < 0 ■解答 f(x)=x-3a²x+4a とおくと, f'(x)=3x²-3a²=3(x+a)(x-a) ① 方程式 f(x)=0 が異なる3つの実数解をもつ条件は, y=f(x)のグラフがx軸と3点で交わること, (極大値)×(極小値) < 0 つまり, となることである. (i) ①より,f'(x)=0のとき, x=-a, a a>0のとき, -a [f'(x) + 20 増減表は右のよう になる. f(x) 極大 極小 a<0のとき, 増減表は右のよう になる. 3次関数においては, | (極大値)> (極小値) f'(x) + f(x) a *** 注) 例題221 で, (i) f(x) が極値をもつ、 (Ⅱ)(極大値)×(極小値) <0 のいずれかを 満たさないときは、 右の図のようにx軸 と3点で交わらない. (i) と(ii) をともに満たすことが重要である. a 20 + -a 0 極大 極小 a=0 のとき, f(x)=x3 より, f(x)=0 の解は x=0 (3重解) となり不適 (ii) f(-a)x f(a)=(2a³+4a)(-2a³+4a) 0 + =-4a² (a²+2)(a²-2)<0 (i) より, a=0 であるから,²0, ²+2>0 より, a²-2>0 (a+√2)(a-√2)>0 これより, a<-√2√2<a よって, 求めるαの値の範囲は, a<-√2,√2<a ( 極値をもたない) *** f(x) が極値をもつ ⇔ f'(x)=0 が異なる 2つの実数解をもつ f(x)=0 の (判別式) > 0 (p.373 参照) 直接, 増減表を書いて |極値を調べたが, f'(x)=0 の判別式を 使ってもよい。 判別式をDとすると, D=-4.3(-3α²) =36a²>0 より、 a<0, 0<a (a+0) となる. f(a) f(B)>0 a H1

⑴、⑵、⑶と違い、⑷のようなグラフがくるときの見分けかたはありますか？増減表を計算して出す以外の方法ありますか？

練15 (1) y = 3x4 + 4x³-1²x²+5 y₁ = (2x ³ + (2x² - 24x = [2 x(x²+x-2) = [2 x (x+2)(x-1) x=0₁-2₁ 1 20 y! | y -2 V-27 x 0 151 y + y 7 x=0₁ 2₁1. + x=-2で極小値-27 x=0で極大値 5 y 0 0 -29 2 (3) y = -x² + 4x² + 4x² + 2 9₁ = - 4x³ 1 1²X² +8x = − 4x (x²-3x + 2) = − 4x (x-²)(X - () 0 y D 5 1 L 7 2 I 0 0 1 0+ 6 1 7 2 x=0.2で極大値: x=1で極小値1 2 2 + TH (2) y = x4 -8 x ² + 16 y'=4x3-16× x = 0₁ -2,2 X 4 x (x²-4) = 4x (x-2)(x+2) y' y - V - 2 0 x y' 0 as af x = -2₁27' ut y T x = 07" +5² KL 16 y (4) y=x4+2x+1 g₁ = 4x³ + 6x² 7 0 2 0 2で極小値0 X=0₁ - 1/1/201 16 = 2x² (2x+3) - 3-1 0 0 + 0 11 7 2 Ext - 0 0 7 x=-21/2で極小値-116. 71 (<1 t x