196 第6章|積分法の応用
研究一般の回転体の体積
空間における直線lの周りの回転体の体積
を求めるには,直線 l に垂直な平面で回転体
を切った切り口の面積Sの定積分を考えれば
5
よい。
1601209-10-xb
例えば,放物線y=x2と直線 y=xで囲まれた部分を,直線 y=xの周りに
1回転させてできる立体の体積Vを求めてみよう。
放物線と直線の交点は0(0,0), A(1,1)で,OA=√2 である。
0≦x≦1とし、放物線上の点P ( x, x2) から直線に垂線 PH を下ろし、
10
PH=h, OH=t とおく。
Hを通り, 直線 y=x に垂直な平面による
立体の切り口の面積をS(t) とすると
√2
√2
ここで
v=Sr² S(t) dt=πS,² h² dt
h=x-x2
√2
t=√2x-h=
0
x+x2
15
また
√2
ゆえに
dt=
dx
√2
1+2x
よって
YA
y=x2
A
y=x
H
t
a
hP(x,x2)
x
1
x
0 → √2
V=π
=
Jo
(x-x2)1+2x
√2
x
0 → 1
dx
2√(x²-3x+2x³) dx
==
π
2
Jo
x3
3x5
+
5
3
=
√2π
10 60
