不定積分に関する問題で分からないところがあったのて質問させていただきます。 画像1枚目の問題(1)です。 この問題ですが、∮f(x)dxをAと置き換えて解くことは可能ですか？ 解説を見てもいまいちしっくりこなく、類題を探しても中々出てきません😢 画像2枚目の解説で、青の線... 続きを読む

問題 19-1 次の方程式をみたす整式f(x) を求めよ。 (1) xf (x) + f(x) dx=3x²+6x+2 3 (2) f(x) dx + xf'(x) = 2x³ +8x²-3x-5

（2）を教えてもらえると嬉しいです。

2 3次の整式 P(x)は、次の条件ア), イ), ウ) を満たしている。 ア) P(x)のxの係数は1である。 イ) P(x)は(x-1)2で割り切れる。 ウ) P(x) をx+1で割ったときの余りと, x-x-2で割ったときの余りは 等しい。 このとき次の問に答えよ。 (1) P(x) を求めよ。 (2) {P(x)} = (x+1)^ で割ったときの余りを求めよ。

大至急お願いします！！！ 2008年のセンター試験の問題なのですが、調べたところ解答だけが載っていて解説が全くわからない状態です！(3)(ソタチ)だけで大丈夫なので解説お願いします！！！

1 a を実数とし,xの整式P(x) を P(x)=x3+(a-1)x2-(a+2)x-6a +8 とする。 (1) P(x) をx-3で割ったときの余りはアイである。 また,xの方程式 P(x)=0はαの値にかかわらず整数の解x= ウエ をもつ。 したがって, P(x) を因数分解すると P(x) = (x+){x² + (a−2)x -a +2} となる。 (2) 方程式 P(x)=0の解がすべて実数となるようなaの値の範囲は, as ケコ または a ≧ サ である。このとき, 異なる実数解の個数がちょうど2個 サ シス セ となるようなaの値は α = ケコ 7 空 -7 ケコ <a<サ ならば方程式 P(x)=0 は虚数解をもつ。 このとき, 方程式 である。 P(x)=0 の二つの虚数解をα,βとする。 α2, β2がxの方程式 4x2-kx+5k=0の解 1 となるようなaと定数kの値はa= 72 k= チ である。

数Ⅱの整式の問題です。 （２）の下の方で、なぜA²−B²が(x-1)²で割り切れるのは、A+Bが(x−1)²で割り切れる場合なのですか？A-Bが(x−1)²で割り切れる場合はだめなんですか？

例題 2 センター試験本試 a,bを実数とし,xの整式 A,BをA=x²+ax+b, B=x2+x+1とする。た だし, AとBは等しくないものとする。 (1) 等式 A'+B2=2x+6x3+3x2+cx+d が成り立つとき b=-1 ウ 1/14- である。 (2) 等式 a= となる。 ア A'-B'=(A-B)(A+B) a ={(a-1)x+(b-1)}{オ 1x² + (a+ カ ])x+6+1} を考える。 A-B がx-1 で割り切れるのはキのときであり,また A+B がx-1 で割り切れるのはクのときである。 よって, A-B と A+B が同時に x-1 で割り切れることはない。 ただし,キ ク については,次の⑩~④の中から当てはまるものをそれぞれ1つずつ選べ。 ⑩ a+b=0 ① a-b=0 ② a+b-2=0 ③ a+b+4=0 ④ a-b-2=0 したがって, A'-B' が (x-1)' で割り切れるのは, A+B が (x-1)' で割 り切れる場合である。 このとき b=3 解答 (1) A=x2+ax+b, B=x2+x+1 より A2+B2 C= =(x^2+ax+b)^+(x2+x+1) 2 = (x¹+a²x² +b²+2ax³ +2abx+2bx²) =2x^+2(a+1)x+(a²+2b+3)x2 A'-B'=サシス x(x-1)2 +(x^+x2+1+2x+2x+2x²) d = I +2(ab+1)x+62+1 となるから, A'+B'=2x+6x3+3x² +cx+d が成り 立つとき

（2）の解説をお願いします。

共通テスト対策 数Ⅱ・B 第4回 ( )組 ( )番( sahkan 2 (1) 花子さんと太郎さんは,次の 【問題】 について話している。2人の会話を読んで、下> 1 を満たす定数と の問いに答えよ。 +2c-3=0 が表す円をC る。 この円を C とする。 (1) p=7 とする。このと s=アエー (i) 【問題】整式 P(x) を (x+1)2で割ると余りが2x+1, æ-2で割ると余りが14で ある。整式P(x) を(x+1)^(-2)で割ったときの余りを求めよ。 であるから, 円 C'の中 花子:P(z) を (æ+1)(x-2)で割ったときの商をQ(z),余りをaz²+bx+cとす (2) C'の半径をrとす ちから一つ選べ。 キ ると,等式P(z)=(x+1)^(x-2)Q(z) +ax+bx+cが成り立つね。 太郎 : あれ、x=-1, x=2を代入して, a, b,c の方程式を作ってもうまくい かないよ。 ⑩pの値が増加すると ① の値が増加する! 花子 : どうすればいいんだろう? ② の値に関わらず, (3)円 と円の共有 太郎:P(z) を (x+1)^ で割ると余りが2x+1 だから, ax2+bx+c=ア と表 すことができるよ。 1 <p <? DRAAGOZAA 0. GAA GAA カ=ク >ク アに当てはまる式を、次の⑩~④のうちから1つ選べ。 ① ax2+2ax+1 ②a(x+1)2 ⑩ az2-1 ③a(x+1)^-1 ④a(x+1)^+2 +1 (ii) a,b,c の値を求めよ。 α=イ |,b=ウ C= エ (2) 整式S(z) をx+2, (-1)(x+2)(x-5)で割ったときの余りをそれぞれd, R(x) と おく。 R(x)のxの項の係数が3であり,さらに, S(z) を (z-1)(z-5)で割ったとき の余りが5x+8であるとき, d = オカである。 an) 00 2=

17. 記述これでも問題ないですか？？

36 FREL 基本例題 17 分数式の恒等式 a/00000 次の等式がxについての恒等式となるように,定数a,b,cの値を定めよ。 -2x2+6 has b c (x+1)(x-1)2x+1 x-1+(x-1)^2 = 指針▷分数式でも,分母を0とするxの値 (本問では−1, 1)を除いて,すべてのxについて成 り立つのが恒等式である。 与式の右辺を通分して整理すると -2x²+6 a(x-1)²-b(x+1)(x−1)+c(x+1) (x+1)(x-1) 2 (x+1)(x-1)2 両辺の分母が一致しているから, 分子も等しくなるように, 係数比較法または数値代入法 でα, b,cの値を定める。 このとき, 分母を払った 整式を考えるから, 分母を0にする値 x=-1,1も代入してよい (下の 検討 参照)。 TRIAHO 解答 両辺に(x+1)(x-1)2 を掛けて得られる等式 -2x2+6=a(x-1)2-6(x+1)(x-1)+c(x+1) もxについての恒等式である。 解答1. (右辺)=a(x2-2x+1)-6(x2-1)+cx+c =(a-b)x2+(-2a+c)x+a+b+c 2011 = OS=dA [S=08 よって 両辺の同じ次数の項の係数は等しいから a-b=-2, -2a+c=0, a+b+c=6 この連立方程式を解いて -2x2+6=(a-b)x2+(-2a+c)x+a+b+c a=1,b=3,c=2 解答 2.① の両辺にx=-1, 0, 1 を代入すると,それぞれ 4=4a, 6=a+b+c, 4=2c この連立方程式を解いて 基本 15 16 a=1,b=3,c=2 このとき, ① の両辺は2次以下の整式であり,異なる3個の x の値に対して成り立つから,①はxについての恒等式であ る。 したがって a=1, b=3, c=2 (分母) ¥0 から (x+1)(x−1)²=0 係数比較法による解答。 「両辺の係数を比較して｣ と書いてもよい。 MEG 12-20 数値代入法による解答。 求めたa,b,cの値を① の右辺に代入し、 展開した ものが ① の左辺と一致す ることを確かめてもよい。 検討 分母を0にする値の代入 分母を0にする値x=-1, 1 を代入してよいかどうかが気になるところであるが, これは問題 ない。なぜなら、値を代入した式①は, x=-1, 1でも成り立つ整式の等式だからである。 すなわち、xにどんな値を代入してもよい。 そして,この等式が恒等式となるように係数を定めれば, 両辺を (x+1)(x-1)で割って る分数式も恒等式である。 ただし, これは x = -1, 1 を除いて成り立つ

数一数と式 nがどこから出てきたのかわからないです。 後、エ、ケ、コサシ、ス、セがわからないです。 分かる方お願いします。

実践問題 太郎さんと花子さんのクラスでは、数学の授業で先生から次のような宿題が出された。 (1) 0026870 201 宿題 実数x に対して, A = (x + 1)(x + 2)(5 − x)(6 − x) B = Ax(4-x) : とおく。 きくとチェ AT OR <A> #¹3564 (a) x=2+√2 のときのBの値を求めよ。 (b) A=120となるようなxの値はいくつあるか。 ANTENJE) HERO 太郎さんと花子さんは,二つの整式 A,Bを整理していくことについて話している。 太郎 この整式Bについて, Aを用いずに表すと B = x(x+1)(x+2)(4-x) (5-x) (6-x) となるね。 花子:xの式が6個かけ算されているのね。このうちの2つずつを組合せて少し整理でき ないかな。 例えば, X = x(4-x) とおいてみるとか。 太郎 : 確かにそのようにおくと, 整数nに対して, (x+n)(n+4−x) = X +n² + ア となるから, 例えば,n=1のときは, (x-1)(イ-x)=x-ウ エ になるね。 花子:そうね。これで二つの整式A, BがXを使ってもう少し整理された形になるね。 下線部について,整式B を X で表すとエ の解答群 12 | 数学 Ⅰ X(X + 1)(X + 2) X(X + 5)(X + 12) 4 (X + 1)(X + 4)(X + 9) n となる。 X(X + 1)(X + 4) (X + 1)(X + 2)(X + 3) (X + 1)(X + 5)(X + 12) (2) 花子 : x = 2+ X だから B だとわ 太郎 : (b)に一 だね A= A = 12 t 0 1 ④2

(2)についてです。 解説の7行目にある式で、左辺の-xは右辺ではどこへ行ったんですか？ 教えてください！

51. (1)の整式 P(x) を x-1 で割った余りが1, x-2で割った余りが 2,3で割った余りが3となった. △ P(x) を (x-1)(x-2)(x-3) 割った余りを求めよ. (2)は2以上の自然数とする. k=1, 2, 3, ….., n について, 整式 P(x) を xk で割った余りがんとなった. P(x) を (x-1)(x-2)(x-3). (x-n) で割った余りを求めよ. (神戸大)

55.2 値の知れないQ(x)を消したいからx^2-1=0としたいけどx=iと置いていいのか躊躇しました。求めるxが整数、自然数、有理数とか書いてなければx=iとおいてもいいのでしょうか？

-3x+71 求めよ。 る。......... -1)(x-2) りを考える。 った余りは、 弐または定数 て 1,2 b,cの値 りを見つける 1式)から ■ち b=3 ここの練習5 効である。 を ったときの すると, (-2)(x) 2) +R(x)) a)+R( 代入。 5であ 38 ► 重要 例題 55 高次式を割ったときの余り (1 x"-1 を (x-1)²で割ったときの余りを求 2以上の自然数とするとき, めよ｡ (23x100+ 2x7 +1 を x2 +1 で割ったときの余りを求めよ。 指針 実際に割り算して余りを求めるのは非現実的である。 p.88~90 でも学習したように, ① 割り算の問題 等式 A=BQ+R の利用 R の次数に注意, B=0 を考える がポイント。 (12) ともに割る式は2次式であるから、余りは ax+b とおける。 (1) 割り算の等式を書いてx=1 を代入することは思いつくが, それだけでは足りない。 そこで、 次の恒等式を利用する。 ただし, nは2以上の自然数, α=1, 6°=1 α-b²=(a-b)(a-1+α-26+α"362+..+ab^2+b^-1) |x-1=(x-1)'Q(x) +ax+b••••• ① (2)x+1=0の解はx=±i x=iを割り算の等式に代入して,複素数の相等条件 A, B が実数のとき A+Bi=0⇔A=0, B=0 を利用。 両辺にx=1 を代入すると ①に代入して x-1=(x-1)*Q(x+ax-a =(x-1){(x-1)Q(x)+α} 解答 (1) x-1 を (x-1)2で割ったときの商をQ(x), 余りをax+b 解 (1) 二項定理の利用。 とすると,次の等式が成り立つ。 x-1={(x-1)+1}"-1 0=a+b すなわち b=-a ここで, x-1=(x-1)(x"-1+x"-2+・・・・・・+1) であるから xn-1+xn-2+..+1=(x-1)Q(x)+α この式の両辺にx=1 を代入すると 1+1+ ······ +1=α a=n よって b=-αであるから ゆえに, 求める余りは nx-n (2) 3x100+2x+1 を x² +1 で割ったときの商をQ(x), 余りを ax+b (a,b は実数) とすると,次の等式が成り立つ。 3x100+2x+1=(x2+1)Q(x)+ax+b 00000 3・1+2i+1=ai+b 4+2i=b+ai n 両辺にx=i を代入すると 3i100+ 27 +1=ai+b i100= (i2)50=(−1)=1, "= (i²) i=(-1)*i=i であるから すなわち a,b は実数であるから したがって 求める余りは 2x+4 [学習院大 ] a=2, b=4 b=-n 基本 53.54 =Cn(x-1)^+..+n Cz(x-1)2 +mCl(x-1)+1-1 =(x-1)^{(x-1)^^2+..+°Cz} tron ゆえに, 余りはnx-n また, (x-α)の割り算は微 分法(第6章) を利用するのも 有効である (p.305 重要例題 194 など)。 微分法を学習す る時期になったら,ぜひ参照 してほしい。 x=-iは結果的に代入し なくてもよい。 実数係数の整式の割り算で あるから、余りの係数も当 然実数である。 練習 (1) n を2以上の自然数とするとき, x” を (x-2)で割ったときの余りを求めよ。 (p.94 EX39 55 (2) xlo+x+1 を x2 +4で割ったときの余りを求めよ。 91 2章 10 剰余の定理と因数定理

写真の問題の赤線部についてですが、なぜn≧1と書く必要があるのでしょうか？ その上の行でΣとCをすでに使っていますが、ΣとCのnの部分は定義から、n≧1だから、赤線部の前にn≧1という条件はすでに考慮してるのではないのでしょうか？解説おねがいします。

基礎問 P 44 はさみうちの原理(I) 次の問いに答えよ. (1) すべての自然数nに対して,2"> n を示せ. AOAO k-1 (2) 数列の和 S. = 2 (1) anで表せ△〇〇〇 k=1 (3) lim Sm を求めよ. △△△△ n→∞ |精講 (1) 考え方は2つあります。 I. (整数)” を整式につなげたいとき, 2項定理を考えます. PROCE (数学ⅡI・B4 ⅡI. 自然数に関する命題の証明は帰納法 (数学ⅡI・B 136 Fet (2) Σ計算では重要なタイプです. (数学ⅡB 120 S=Σ(kの1次式) k+c (r≠1) は S-S を計算します. (3) 極限が直接求めにくいとき, 「はさみうちの原理」という考え方を用います. bn≦an≦en のとき limb=limcn = α ならば liman=α n→ 00 n→∞ n→∞ この考え方を使う問題は,ほとんどの場合,設問の文章にある特徴がありま す. (ポイント) どういう意味? 解答 (1) (解I)(2項定理を使って示す方法) n (x+1)=2nCkck に x=1 を代入すると k=0 2"=nCo+nC1+nC2+..+nCn ¹) n=1 F²³5, 2²nCo+nC₁=1+n>newhere 2">n ( 解ⅡI) (数学的帰納法を使って示す方法 ) 2"> n (i) n=1のとき 左辺=2,右辺=1 だから, ①は成りたつ