1からnまでの数字を1つずつ書いたn枚のカードが箱に入っ
ている.この箱から無作為にカードを1枚取り出して数字を記録し,
箱に戻すという操作を繰り返す.ただし,回目の操作で直前のカー
ドと同じ数字か直前のカードよりも小さい数字のカードを取り出し
た場合に,k を得点として終了する.2≦k≦n+1を満たす自然数
kについて,得点がk となる確率を求めよ
東北大の一部
とする. カードの取り出
《解答》 カードの数字を出た順に a1, A2,A3,
し方は全部でnk通りある.このうち
...
* A1 < A2 < A3 < ... < ak
となる場合は,a から ak までの数字の組み合わせはnCk通りで, 並べ方は
小さい順に1通り,それ以外は任意だから,この場合の確率は
nck
nk
よって, 求める α < az <a3 <・・・ < ak-1 ≧ak となる確率は,
a1 < Q2 < Q3 <… < ak-1 / ak (実際は ak-1 以降の大小は任意だから
ai < az < az <・・・ <ak-1 と同じ)となる確率から
・・・ < ak-1 < ak となる確率を引いたものだから
a1a2a3 <...
nCk-1
1=
nk-1
nCk
nk
n!
=
=
=
.k-1
n -1(n-k+1)!(k-1)!
n!.n.k-n!(n-k+1)
nk(n-k+1)!k!
n!(n+1)(k-1)
nk(n-k+1)!k!
(k-1) (n+1)!
nkk!(nk+1)!
=
n!
nk(n-k)!k!
n!(nk-n+k-1)
nk(n-k+1)!k!