226 第6章 積分法
練習問題 9
次の不定積分を,置換積分によって計算せよ.
(1) 2x (x²+1)³dx
(2)
sin³rcos.xdx
(3) 21 dx
e2x
e2x+1
IC
(4)
dx
精講
(1)~(3)は,すでに練習問題8で行ったものですが、あらためて「置
換積分」という手法に則って行ってみましょう.「かたまり」と見
た部分をtと置換することでうまくいきます。
解答
(1) t=x2+1 とおくと,
dt
=2x すなわち xdx=
dx
-dt
与式=f2(x+1)xdz=f24812d=Stat
置換!
2t5.
= — — t°+C==(x+1)+C
6
(2) t=sinx とおくと
dt
dx
-=COSx すなわち cosxdx=dt
与式 = sin' rcos.rdz=ffdt
=Stat = r²+c
t+C
1
置換!
sinx+C
4
(3)t=e2+1 とおくと
dt =2e2z すなわち @ardx=12
dx
e² dx = Sdt
=
2.x
1
2
与式=faut+1
2x
置換!
=
2
-dt
-log|t|+C
.log(e^x+1) +C