標問 44
不等式の成立条件
(051) US(
不等式 1-ar≦cOS が任意の実数xに対して成り立つような定数αの
範囲を求めよ.
(早稲田大)
精講
図形的には,y=cosx の下方に納
まる限界の放物線を求めることが問
(x)"
題です.そこで,標問 39の方針にしたがって文
宇定数を分離し:
450-(0)
2
2
0
1-cos x
az.
x²
2
右辺の関数の最大値を求めるという考え方もでき
ますが,面倒です.
SPO4
ここは,単に
f(x)=cosx+ax²-1≧0
が成り立つようなαの範囲を求めると考えた方
が簡単です.その際, f(x) は偶関数なので,xの
変域を≧0に制限できることに注意します。
また,
f'(x)=-sinx+2ax
の符号の変化はわかりにくいので,もう一度微分
するのがよいでしょう.
「解法のプロセス
=f(x) とおく
右左辺
変域を 0 に制限
↓
f'(x)はわかりにくいので
f(x) を調べる
解答>
a≧0とすると
1-ax2≧1>cOS x
を満たすxがあるので, α>0 である.
不等式の両辺は偶関数だから
たとえばx=
TANS G>>0) 0²)
f(x) =cosx+ax²-1≧0 (x≧0)
02
◆xの変域を制限する
が成り立つαの範囲が求めるものである.
f'(x)=-sinx+2ax
f"(x)=-cosx+2a
f'(x) の符号は不明なので
cul
\