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数学 高校生

この問題について3つ質問があります!1つ目は、解答の(1)はどのような発想から来ているのかについてです。2つ目は、(2)が解答とやり方が違ったのですが、合っているか見て欲しいです!3つ目は、手書きの紙の②の式で、p、qが両方奇数だと、3pqの二乗が奇数になり、右辺と左辺で偶... 続きを読む

4p3+3pg2-8q30 . 892 =42+3q2 P ③の右辺は整数だから左辺も整数である。これとは互いに素により は8の正の約数つまり 1,2,4,8 のいずれかである.以上から 1 1 a = 1,2,4,8, 2'4 -の可能性しかない。しかしこれらを実際に①に代入 しても成立しないことがわかるので, a は有理数ではない。 す、す を nπ 43-17 整数係数の次方程式の有理数解 3次方程式 有理数・無理数 165 165 +1- VV 64 VV 64 -1 とする. 次の問に答えよ。 (1)は整数を係数とする3次方程式の解であることを示せ. (2)a は有理数でないことを証明せよ。 アプローチ (1)でするべき作業は (v)(v) 2)です。 (弘前大 です.つまり, 有理化 ( 有理数についてはを参照してください。 (2)は,(1)でa を解にもつ方程 式を求めているので, その方程式が有理数解をもたないことを示せばよいで しょうここで背理法を用いるのはと同じです。 =120-83=2 の 解答 65 65 (1)g= VV 64 +1,β=3 -1とおくと V64 0° P ☐ 65 a=α-β, aβ = となる. これを -1= へ代入して 2=a³+3a 64 4' α3-β3=(α-B)3+3aβ(a-β) 4a³ +3a-8=0 よって, a は 4x3+3x-8=0の解である. 9 ① ☐ (2)が有理数であると仮定するとa 0だから(ただし pq は互 いに素な自然数) とおける ① に代入すると P3 +3 4.- +3.P-80 9 4p3 =-3pq+8q2 9 2 ②の右辺は整数だから左辺も整数である。これとp, q は互いに素によりq は4の正の約数つまり 1,2,4のいずれかである。さらに②から (フォローアップ 1.整数係数のn次方程式 ax” +... +b=0を解くとき, x=± (aの約数) を代入し解をみつけて因数分解しているでしょう.それは直感的にいえば、 ax"+... +b=(○x-△)・・・・・ (Ox-△) と因数分解できたなら○の積は (bの約数) a,△の積はb になるはずで、だから有理数解は±=± (bの約数) PICCOLLAGE

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