⑶にて x=-1では不連続にならないのですか？ 確かにlim[x→-1+0]f(x)=f(-1)は成り立ってますけど、 その負側ではすぐに途切れているので不連続だと思いました。

基本(例題 56 関数の連続 不連続について調べる -1≦x2 とする。 次の関数の連続性について調べよ。 (1) f(x)=x|x| (2)g(x)=-1 (x-1)2 (3)h(x)= [x] ただし,[]はガウス記号。 (x+1), g(1)=0 P.97 基本事項 重要 57, 58、 指針 関数 f(x)がx=αで連続limf(x)=f(a)が成り立つ。 また, f(x) がx=αで不連続とは [1] 極限値 limf(x) が存在しない XIA [2] 極限値 limf(x) が存在するが limf(x)=f(a) XIA のいずれかが成り立つこと。 解答 x-a 関数のグラフをかくと考えやすい。 099 2章 関数の連続性 (1) x>0 のとき f(x)=x2 x<0 のとき f(x)=-x2(1),(2)多項式で表された よって limf(x)=limx2=0, x+0 x+0 limf(x) = lim(-x2)=0 x-0 x→0 0 また f(0)=0 ゆえに limf(x)=f(0) よって, x=0で連続であり -1≦x≦2で連続。 (2) limg(x)=lim =8 x→1 x-1 (x-1)² 極限値 limg(x) は存在しないから 関数は連続関数であるこ とと p.97 基本事項 1 ③ に注意。 関数の式が変わ る点 [(1) ではx=0, (2) ではx=1] における連 続性を調べる。 なお (3) では区間の端点での連続 性も調べる。 x→1 -1≦x<1,1<x≦2で連続; x=1で不連続。 (3) -1≦x< 0 のときん(x)=-1, 0≦x<1のとき h(x)=0, [x] は x を超えない最大 の整数。 1≦x<2のとき h(x)=1, h(2)=2 よって limh(x)=-1, limh(x) = 0 ゆえに, 極限値limh(x)は存在しない。 x-0 x+0 x→0 limh(x)=0, limh(x)=1 ゆえに, 極限値 limh(x) は存在しない x→1-0 x→1+0 limh(x)=1, h(2)=2 X-2-0 x→1 ゆえに lim h(x)+h(2) x2-0 よって -1≦x< 0, 0<x<1, 1 <x<2で連続 ; x = 0, 1, 2で不連続。 (1) f(x)* 4 (2) g(x) 14 0 2 x -1 0 1 1 2 X (3) h(x) 入らない 2 1 fm?= f(-1) 12 -1 スー1+0 0 1 2 -1

極限の問題です。（2）がわからないのですが、このlogの2式はどのような形を取るのか教えて頂きたいです。また、−log10(-x)とあるのですがなぜ真数にマイナスをとっているのでしょうか？

練習 次の関数の連続性について調べよ。 なお, (1) では関数の定義域もいえ。 123 (2)-1≦x≦2でf(x)=10g101 (x≠0) f(0)=0 ただし、[]はガウス記号。 x=±1 x²-1 (1) f(x)= x+1 (3) 0≤x≤2nC f(x)=[cosx] (1)定義域に属さないxの値は, x2-1=0から よって定義域は x<-1,-1<x<1,1<x; [注意] 定義域に属さない値に対する連続 不連続は考えないか 不式 定義域のすべての点で連続。 ら,x=±1で不連続であるとはいわない。 (2)-1≦x<0のとき 1 0<x≦2のとき よって x-0 f(x)=10g10- =-10g10 (-x) limf(x)=limf(x)=∞ x→+0 - 1 f(x)=10g10=10g10x すなわち, 極限値 limf(x) は存在しない。 ゆえに x→0 -1≦x<0.0<x≦2で連続; x=0 で不連続。 ←分数関数の定義域は, (分母) 0 を満たすxの 値全体である。 ←x+1, x2-1 (x≠±1) は連続関数である。 0457it. 右図のようになる。 ←y=10g10x (x>0) は連 関数。 THE ASto YROS (1) 4章 練習 限

微分係数が存在するかしないかって 右側極限の微分と左側極限の微分が合うか合わないかのみによるという理解でよいですか？

連続で [+] (②) 連続 T 分 ■数 60 関数の連続性と微分可能性 /関数f(x)=x^2/x-2|はx=2において連続であるか、 微分可能であるかを調べ p.106 基本事項 62 検討 [例題] f(x)がx=αで連続limf(x)=f(α) が成り立つ f(x) が x=αで微分可能微分係数 lima+h)-S(α) h オー lim f(x) X 2+0 これらの極限について調べる。 f(x)はx=2の前後で式が異なるから、例えば連続性については、右側極限 20, 左側極限x2-0 を考え,それらが一致するかどうかを調べる。 =limx2(x-2)=0 x-240 lim f(x) x-2-0 =lim{-x2(x-2)}=0 x2-0 また, f(2)=0 であるから lim f(x)=f(2) X-2 よって, f(x)はx=2で連続である。 次に = lim h+0 ƒ(2+h)-f(2) h lim h-0 f(2+h)-f(2) h =lim h→+0 h→+0 =lim(2+h)=4 ya lim h-0 (2+h)³h-0 h (2+h)²(−h)-0 h =lim{-(2+h)"}=-4 h-0 h→+0とん → 0 のときの極限値が異なるから, f' (2) は存在しない。 すなわち, f(x)はx=2で微分可能 ではない。 微分可能連続の利用 f(x)がx=αで微分可能x=α で連続 y=f(x) (2) f(x)= X 0 107 00000 F p.97 基本事項■ が成り立つ。 よって、上の例題のような問題では,微分可能性から 先に調べてもよい(「微分可能」がわかれば、極限を調べなくても 「連続である」という結論を出すことができる)。 また、⑩の対偶「f(x)がx=4で連続でない⇒xaで微分 「可能でない」 も成り立つ。 x 1+2 + が存在する。 4A= を用いて、絶対値をはず A (A20) -A (A<0) ◄f(2+h)-(2+h)²|h|| ん→ +0のとき >0 ん→-0のとき <0 に注意して、 絶対値をは ずす。 練習 次の関数は, x=0 において連続であるか, 微分可能であるかを調べよ。 260 (x=0) (1) f(x)=|x|sinx (x=0) 微分可能 [(1) 類 島根大〕 p.115 EX 48 3 章

関数の連続性の問題です 写真の黄色の丸で囲った部分が何をしているのか分かりません 教えてくださいm(_ _)m

次の関数 f(x) において, 定義されないxの値,不連続であるxの値をいえ。 また,それらのxの値で、関数の値を改めて定義し, すべての実数xで連続に なるようにせよ。 (1) f(x)= x2-2x-3 x-3 2 (2)) ƒ(x)= x |x| (3) f(x)=[Icosx |] (S)

103(5)です。解答の下から三行目から二行目f(x)の変形はどうしてx^2-x+1 とわかるのですか？ 0〜1ならx^3-3x+a+2も考えられるのではと思ってしまいました。

103 αを実数とする。 関数f(x) を次のように定める。 f(x)=1-x+x2+α[x] -2x[x]+[x]2 ただし,実数xに対し, 記号 [x] は n≦x<n+1 を満たす整数n を表す。 たと 5 えば [0]=0, [2]=1, [2]= =2 である。 (1) 0≦x<1の範囲において, f(x) をxの整式で表せ。 (2) 1≦x<2の範囲において, f(x) を a を用いたxの整式で表せ。 (3) f(x)がx=1で連続であるように,αの値を定めよ。 HRA (4) f(x+1)f(x) をaを用いて表せ。 ただし, [x+1]=[x] +1 であることは 証明せずに用いてよい。f(^ーリーf(x)=a-1 αを (3) で定めた値とする。 nを正の整数とするとき, Sof(x)dx を n を用い て表せ。 [17 立教大]

パンケーキの定理について読んでも分からないので教えてほしいです！

参考 事項 パンケーキの定理 (中間値の定理の利用) パンケーキが2枚ある。 1回のナイフカットでパンケーキを2枚とも同時に2等分すること は可能だろうか? 実は常に可能である。このことを数学的に表したのが、次のパンケーキの定理である。 パンケーキの定理 2つの図形 A,B に対して,各図形の面積を同時に2等分するような直線が存在する。 この定理は,中間値の定理を利用して,次のように証明することができる。 図1 証明 図形 A,Bの両方が内部にあるような円をとり,これを 単位円と考える(図1)。 図形 A について,直線x=α の左 側の部分の面積をf(a), 右側の部分の面積をg(α) とし, h(a)=f(a)-g(a) とすると, 関数h (α) は-1≦a≦1にお いて連続と考えられん (-1)=-g(-1) <0, h(1)=f(1) > 0 よって, 中間値の定理により, h (α(0)) = 0 を満たす α=α(0), -1<α(0) <1が存在する。 このとき,直線x=α(0) によっ て,図形Aの面積が2等分されている。 同様に,図形Bの面積を2等分する直線x=6 (0) が存在す る。 次に, 図形 A,Bを原点を中心としてだけ回転する(図 2)。 このときも, 図形Aの面積を2等分する直線x=α (0), 図形Bを2等分する直線x=b(0) が存在し, 00 の範囲で動かすとき, 関数 α (0), 6(0) は 0≦≦において それぞれ連続と考えられる。 ゆえに, c(0)=α (8) -6(6) とすると,関数 (0) は 0≦において連続で, a(z)=-α(0), b(z)=-(0) で あるから c(0)c(x)={a(0)—b(0)}{a(π)—b(π)}=-{a(0)—b(0)}² α(0)=b(0) のときは,定理が成り立つことは明らかであり, c(0)c(π) <0 α(0) ¥6(0) のときは よって, 中間値の定理により, c01) = 0 を満たす 01 ( 0 01 <x) が存在する。 このとき, 図3のように直線 x=α(01) と直線x=6 (61) は一致し, この直線が図形 A, B の面積を同時に2等分する。 以上により定理は証明された。 また、次のこと(ハム・サンドイッチの定理)が成り立つこと も知られている。 これは, パンケーキの定理の空間版にあたる。 ハム1枚とそれをはさむ2枚のパンでできたサンドイッチに ついて、ハム, パン2枚それぞれの体積を同時に2等分するよ うに、必ずナイフカットすることができる。 x=b(0) 図2 B 図3 x=b(0) 11 B of(a) 1 A Ay 0 x=a(0) 239 √₁x g(a) XT x=a(0) A x y4|x=a(0₂₁) [x=b(0₂₁)] x 0=0₁ 4章 17 関数の連続性

証明の最後の方にある、「一般に、」からが理解できません。詳しく教えていただきたいです。

例2 z=g(y)=siny, y=f(x)=x2 ならば, fg の合成関数は z = sinx. 合成関数の連続性 定理1.2.3 y=f(x)がx=αで連続で, z=g(y) がy=f(a) で連続ならば,合成関 数z=g(f(x)) は x =αで連続である. 証明 y=f(x) は x =αで連続であるから lim f(x)=f(a) x→a である.また z=g(y)はy=f(a) で連続であるから lim_g(y)=g(f(a)) y-f(a) である.一般に,この極限はy ≠ f (a) なる条件の下でyをf(a)に近づけるの であるが, g(y)がy=f(a)で連続であり,yがf(a) に近づくのに y=f(a)を みたしていても成り立っているので limg (f(x))=g(f(a)).

数学の質問です。どのような解答を書けば良いのでしょうか？

3 次の関数のæ=0での連続性を調べよ。 (結論としては,連続か不連続かという答えになるわけですが, 不連続な場合,連続性の定義の式と照らし合わせて、どのように不連続なのかを丁寧に述べなさい.) sin x SINX sin x (x = 0) (1) f(x) = (2) f(x) = IC IC 継続 (x=0) +0 連系 selon |x| 3) f(x) = |x| (4) f(x)= X

連続である区間を求めるの意味がわかりません！

2次の関数が連続である区間を求めよ。 (1) f(z) = V1-

なぜ、この方法でこの問題が解けるのですか？ あと、場合分けは1でしないといけないのですか？ もし1でしないといけないなら、その理由も教えて欲しいです！

1-2- 12 「例題 関数の連続性 のグラフをかき, f(x) が不連続となるxの値を 1+x+x?n+1 18関数 f(x) = lim 求めよ。 1+ x? n→ 0 (i) |x|<1のとき limx" = xn+1 =1 より 0, limx?n+1 =0 より 2→0 1+1+1 3 1→ C f(x) = 1+x+0 1+1 2 f(x) = =1+x 1+0 (iv) x = -1 のとき (i) |x|>1のとき x=(-1) =1, x"m+1 = (-1)m+1 =-1 より <1より lim{- = 0 x 2→0 1+1 よって したがって、 2n 2n-1 1 3 +x y= f(x)のグラフ 2 x x f(x) = lim は右の図のようにな 2n 81N +1 る。 x 01 x また,f(x) が不連続 0+0+x となるxの値は =x 0+1 x= ±1 ( x=1 のとき