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基本(例題 56 関数の連続 不連続について調べる
-1≦x2 とする。 次の関数の連続性について調べよ。
(1) f(x)=x|x|
(2)g(x)=-1
(x-1)2
(3)h(x)= [x] ただし,[]はガウス記号。
(x+1), g(1)=0
P.97 基本事項 重要 57,
58、
指針 関数 f(x)がx=αで連続limf(x)=f(a)が成り立つ。
また, f(x) がx=αで不連続とは
[1] 極限値 limf(x) が存在しない
XIA
[2] 極限値 limf(x) が存在するが limf(x)=f(a)
XIA
のいずれかが成り立つこと。
解答
x-a
関数のグラフをかくと考えやすい。
099
2章
関数の連続性
(1) x>0 のとき f(x)=x2 x<0 のとき f(x)=-x2(1),(2)多項式で表された
よって limf(x)=limx2=0,
x+0
x+0
limf(x) = lim(-x2)=0
x-0
x→0
0
また f(0)=0
ゆえに
limf(x)=f(0)
よって, x=0で連続であり
-1≦x≦2で連続。
(2) limg(x)=lim
=8
x→1
x-1 (x-1)²
極限値 limg(x) は存在しないから
関数は連続関数であるこ
とと p.97 基本事項 1 ③
に注意。 関数の式が変わ
る点 [(1) ではx=0, (2)
ではx=1] における連
続性を調べる。 なお (3)
では区間の端点での連続
性も調べる。
x→1
-1≦x<1,1<x≦2で連続; x=1で不連続。
(3) -1≦x< 0 のときん(x)=-1,
0≦x<1のとき h(x)=0,
[x] は x を超えない最大
の整数。
1≦x<2のとき h(x)=1, h(2)=2
よって limh(x)=-1, limh(x) = 0 ゆえに, 極限値limh(x)は存在しない。
x-0
x+0
x→0
limh(x)=0, limh(x)=1 ゆえに, 極限値 limh(x) は存在しない
x→1-0
x→1+0
limh(x)=1, h(2)=2
X-2-0
x→1
ゆえに
lim h(x)+h(2)
x2-0
よって -1≦x< 0, 0<x<1, 1 <x<2で連続 ; x = 0, 1, 2で不連続。
(1) f(x)*
4
(2) g(x)
14
0
2
x
-1 0
1
1
2
X
(3) h(x)
入らない
2
1
fm?= f(-1) 12
-1
スー1+0
0
1
2
-1
