定理 2.6. ab∈ A とせよ。 a,bに関する次の3条件は,互いに同値である。
(1) aRb
(2) C(a)C(b) 0
(3) C(a)=C(b)
証明. (1)
(3)xeC(a) とすれば,∈AであってæRa である。 仮定によりaRb であるの
で,Rb が成り立ち, TEC (b) が得られる。 故にC(a) CC である。 さて, aRb であるの
でbRa でもあり、故に a,bの役割をひっくり返すことによって, (b) C (a) であることが
従い, 等式C(a)=C (b) が得られる。
(3)
(2) C(a) = C (b) であるからC(a)(b)=C (α) である。 勿論 C (α) ≠ 0 であるか
ら, (a) (b) ≠ 0 となる。
(2) (1) 集合 C (a) nC (b)は空でないので, 少なくとも一つの元 c∈ C' (a) C (b) を取る
ことができる。すると c∈ C (a) であるから, c∈Aであって cRa である。 故に aRe でもあ
る。同様に,c∈C (b) であるから, cRb が成り立つ。 即ち aRe かつ cRb であるから, aRb で
ある。