放物線C:y = x2 と直線l: y = x によって囲まれた図形を直線」
のまわりに1回転させてできる回転体の体積Vを求めよ。
y=x
« ReAction 回転体の体積は,回転軸に垂直な切り口の円を考えよ 例題199
直線 y=x が回転軸
直線 y=x を t軸として考える。
思考プロセス
y
1
H
AL
1
Q
CP
基準を定める
P
断面積
x
1 x
PH2X
v=xf" r
V
PH をtの式で表す ← 難しい
PH2dt
0
放物線Cと直線lは2点
PH, dt を x, dx で表すことを考える。
|共有点のx座標は
y
0(0,0), A(1,1) で交わる。
放物線C 上, 直線上にそれぞ
れ点P(x, x2), Q(x,x) (0≦x≦1)
をとり、点Pから直線に垂線
PHを下ろすと
A
I
1
H
P
PH=
x-x2
PQ
x
x
√2
√2
ここで, OH =t とおくと
t=0Q-QH=√2x- x-x2
x+x2
2
√2
t = x + x²
dt
より
1+2x
√2
dx
√√2
←0
←
t
0
->
2
x
1
txの対応は右のようになるから
V = 1 PH' dt = PH².
*PH. 1+2x dx
= I
π
2√2
12
.
1+2x
√√2
-dx
√2
Sx
f(x-x2)(1+2x)dx
√√(2x-
4
(2x³-3x² + x²)dx
4
練習 206 放物線 C:v
3
+
3
|x2=xよりx-x = 0
x(x-1)=0
よって x = 0,1
△PQH は HP =HQの
直角二等辺三角形である
から PHPQ=1;
点と直線の距離の公式を
用いてもよい。
H
P
断面積
=
√2
60
π
\O
直線 y=x
PH'X
を軸として
考えて、Vを定積分で
L, x xで置換する。
回転軸がx軸となるよう
に、原点を中心とする
転移動を利用する方法も
|ある。 解答編p.380
(日)参照。
W
a
曲に
結線さしい
