この問題についてで、解答と最初の計算は合っているのですが、途中から違ったように計算していて、写真の式の最後のところで、log0になってしまったのですが、変形が間違っているということですか？それともこれでは計算出来ないから違う方法で計算しなければいけないということですか？回答... 続きを読む

思考プロセス 例題] どの箱に入る確率も等しいとする。 どの箱にも1個以下の球しか入ってい 個の球を2個の箱へ投げ入れる。各所はいずれかの箱に入るものとし log n ない確率を pm とする。 このとき, 極限値 lim n→∞ n を求めよ。(京都大改) « ReAction 確率の計算では、同じ硬貨・ さいころ 球でもすべて区別して考えよ 例題214 段階的に考える まずを求める Dn = n個の球は区別して考える。 (__となる場合の (異なるn個の球が2n個の箱に入る場合の数) = ( 積や指数を含む式) 区別したn個の球を 2n個の箱からn個の箱 を選んで入れる入れ方 9A « Re Action n項の積の極限値は、対数をとって区分求積法を利用せよ 例題 172 33 x b (x) t n個の球が2n個の箱に入る場合の数は (2)" 通り どの箱にも1個以下の球しか入らないようなn個の球の入 り方は 2P通り 球は区別して考える。 2n個の箱から,球を入れ n個の箱を選び、どの が入るか考える。 球は区別して考えるから 気 よって 2nPn kn === (2n)" を使う時 ゆえに (2m) A のいつけないと(0) 2n log pn C ではなく 2P であ る。 lim lim n→∞ n 2mPm 間違う。 n -log- non (2n)" (2n) (2n-1)(2n-2). lim non lim -log 2n log + log 1/{10 n→∞n 2n ... (2n) n {2n-(n-1)} 2n-2 2n-1 + log 2n 2n ・+log. 2n-(n-1) 2n nie lim 1n-1 n→∞nk=0 = = lim non log 2n-k 2n log 2 n k=0 )= log(1-x)dx =[-2{(1-1/2x)100(1-1/2)-(1-1/2x)} = 10g2-1 ■1741からnまでの粘 = logxdx Slogx =xlog.x-x+c -log- 1

この問題の解答の右下らへんの黒い（をしてる部分の変形が思いつきません。どのように考えたら思いつきますか？回答よろしくお願いしますm（__）m

例題 177 数列の和の不等式 足楨 ① ③ より log (n!) < (n+1)log(n+1)-n ... 4 ★★★★ 次に、②の右側の不等式において, < Slogxdx = log(k+1) ここで (EZ) = [xlogx-xdx nlogn-n+1 = log2+log3+･+logn = log(2･3･････n) = log(n!) k=1,2,...,n-1 (n≧2)として辺々を加えると logn log2 01234-1 nx log2 + log3+..+logn >Slogxdx (1) 自然数nに対して,次の不等式を証明せよ。 nlogn-n+1≦log(n!) ≦ (n+1)log(n+1)-n (2) 次の極限の収束, 発散を調べ, 収束するときにはその極限値を求めよ。 log(n!) lim n-onlogn-n (東京都立大) 思考プロセス (右辺) (1) 既知の問題に帰着 log(z!) = log1+ log2 + log3+…+logn=2logk 数列の和 k=1 よって nlogn-n+1 <log(n! 2.3.n =1・2・・・ « Action 数列の和の不等式は, 長方形との面積の大小関係を利用せよ 例題176 この式に n=1 を代入すると (左辺 = 0, (右辺) = 0 であるから nlogn-n+1≦log (n!) ･･･ ⑤ = n! y=logx log (k+1) +TV=2 logk < kk+1 kk+1 k k+1 logk < *'**' logxdx < log(k+1) ④ ⑤より, 自然数nに対して nlogn-n+1≦log(n!) ≦ (n+1)log(n+1)-n unit 右側の不等式の等号が成 (2)n≧3のとき,(1)の不等式の各辺を り立つことはない。 k k+1 x S それぞれkをどのように変化させると logkが現れるか? nlogn-n 例題 S log(n!) (2) Action 直接求めにくい極限値は、はさみうちの原理を用いよ 例題25 (1) より nlogn-n+1≦log(n) ≦ (n+1)log(n+1)-n nlogn-n+1 nlogn-n nlogn-n 25 ここで, n→∞のとき (左辺) = 1+ (n+1)log(n+1) 1 nlogn (n+1)log(n+1)-n nlogn―n ・極限値が一致することを示す (右辺) 1 1 nlogn-n=n(logn-1)>0で割ると nlogn-n+1 log(n!) (n+1)log(n+1)-n nlogn-n logn ∞を考えるから、 n≧3 としてよい。 n3のとき、ne より log" >1 (nlogn-n) +1 =1+ nlogn-n nlogn-n log(n+1) = log{n(1+)} |-logn+log(1+1/2) nlogn-n 1 →1 n(logn-1) (1) log(n!)=log1 + log2 + ･･･ +logn= y=logx logk ... 1 [例] 176 y =logx は x > 0 で単調増加するから, k≦x≦k+1 において logk logx log(k+1) 等号が成り立つのは,x=k, k+1のときのみであるから kk+1 k+1 k+1 k+1 logkdx < $logxdx < $log(k+1)dx .k+1 logk < logx dx < log(k+1) ... 2 ②の左側の不等式において, k = 1, 2,..., n として 辺々を加えると ②logk<logxdx ここで (右辺 = xl0g+1 X・ ③ -dx logn log2 =(n+1)log(n+1)-n x (1+1/2) logn logn+log 1+ logn 1 logn n 1 logn (1+1){1+ .log 1+1)}- n logn 1 1. logn logn -→1 したがって、はさみうちの原理より, 与えられた極限は 収束し,その極限値は lim log(n!) =1 - nlogn-n 練習 177k > 0, nを2以上の自然数とするとき (1) logk < flogxdx < log(k + 1)が成り立つことを示せ。 (大阪大) p.363 問題177 en+1 logxdx (3) 極限値 lim(n!) log を求めよ。 (2)nlogn-n+1 <logk<(n+1)logn-n+1 が成り立つことを示せ。 012341nJx n+1- log1+ log2+logn 長方形の面積を加えたもの 320

この問題で、✕との関係式を作る時、写真のようにして作ったら解答と違くなってしまったのですが、なぜ写真のようにしては間違いになるのですか？回答よろしくお願いしますm（__）m

放物線C:y = x2 と直線l: y = x によって囲まれた図形を直線」 のまわりに1回転させてできる回転体の体積Vを求めよ。 y=x « ReAction 回転体の体積は,回転軸に垂直な切り口の円を考えよ 例題199 直線 y=x が回転軸 直線 y=x を t軸として考える。 思考プロセス y 1 H AL 1 Q CP 基準を定める P 断面積 x 1 x PH2X v=xf" r V PH をtの式で表す ← 難しい PH2dt 0 放物線Cと直線lは2点 PH, dt を x, dx で表すことを考える。 |共有点のx座標は y 0(0,0), A(1,1) で交わる。 放物線C 上, 直線上にそれぞ れ点P(x, x2), Q(x,x) (0≦x≦1) をとり、点Pから直線に垂線 PHを下ろすと A I 1 H P PH= x-x2 PQ x x √2 √2 ここで, OH =t とおくと t=0Q-QH=√2x- x-x2 x+x2 2 √2 t = x + x² dt より 1+2x √2 dx √√2 ←0 ← t 0 -> 2 x 1 txの対応は右のようになるから V = 1 PH' dt = PH². *PH. 1+2x dx = I π 2√2 12 . 1+2x √√2 -dx √2 Sx f(x-x2)(1+2x)dx √√(2x- 4 (2x³-3x² + x²)dx 4 練習 206 放物線 C:v 3 + 3 |x2=xよりx-x = 0 x(x-1)=0 よって x = 0,1 △PQH は HP =HQの 直角二等辺三角形である から PHPQ=1; 点と直線の距離の公式を 用いてもよい。 H P 断面積 = √2 60 π \O 直線 y=x PH'X を軸として 考えて、Vを定積分で L, x xで置換する。 回転軸がx軸となるよう に、原点を中心とする 転移動を利用する方法も |ある。 解答編p.380 (日)参照。 W a 曲に 結線さしい

数Cベクトルの問題です。 なぜОP=（1-s）ОA+sОDになるのでしょうか？ ОP= s ОA+ （1-s）ОDではだめなのですか？ また、①、②から以降の説明が何をやっているのかわかりません。 よろしくお願いします🙇

* 69 ☑ △OAB において,辺OA を 4:3に内分する点を C, 辺OBを3:1に内分する点をDとし, 線分 AD と線分 BC の交点をPとする。 OA=a, OB とするとき,OP を a を用いて表せ。 3 教 p.40 応用例題 3 P A B

この問題では立体Aの形が分からないと解けない問題で合ってますか？このような問題では立体の形は分からなくていいと思っていたので分からなくなってしまいました。回答よろしくお願いします。

388 (2) 切り口を考えたいが, 立体Bはイメージしにくいから 立体Aを「z軸のまわりに回転させる」→それを「平面 z=tで切る」 見方を変える 例題 21. xyz 空間において,D={(x, y, z1≦x≦2,1≦y ≦ 2, z = 0 } で表 された図形をx軸のまわりに1回転させてできる立体をAとする。 (1) 立体 A の体積VA を求めよ。 (2) 立体Aを軸のまわりに1回転させてできる立体Bの体積VB を求 めよ。 (名古屋大 改) ReAction 回転体の体積は、回転軸に垂直な切り口の円を考えよ 例題199 切り口の図形Eは図1の長方形 PQRS となる。 平面 z = t と軸の交点をH, 線分PSの中点をM とすると ゆえに PH = √PM2+MH=√8-1 S(t) = PH-π・12 =(√8-12)² -=(7-12) S 1 点Hから最も遠い点は P, 点Hから最も近い点 はNであるから S(t) = (半径PH の円) (半径NHの円) PM=√22-2 特講 (1) t1のとき 図1' 平面 z=t における図 図2′ 平面 x=2 における図 Q P 12 St P R S' +M z=tr イメージしにくい。 M HN x R -21- 0 立体A を「平面 z = t で切る」→それを「2軸のまわりに回転させる」 AP H 12y P.S. -1 イメージしやすい。 場合に分ける 21 HACS (2 (ア)断面が長方形1個 (イ) 断面が長方形 2個 切り口の図形Eは図1' の tの値によって, z=t 2つの合同な長方形 PQRS, 断面の形が異なる。 H• P'Q'R'S′ となる。 N H x 線分 PP′, QQ' の中点を M, Q' RR 0 0 z=to N とすると -2-1 図3′ 平面 x=1 における図点Hから最も遠い点は 0 12 y P. 点Hから最も近い点 はRであるから S(t) (半径PH の円) (半径RHの円) y 22120) 03-12-09 PHPM² + MH² PM=√22-12 √√8-12 02 4章14 体積・長さ,微分方程式 Action» 切る平面によって断面の形が変わるときは,図を分けて考えよ - RH = √ (1) 立体 A は,底面の半径が2で高 さ1の直円柱から, 底面の半径が 1で高さが1の直円柱をくり抜い た立体である。 y y D 2 2 1 1 02 よって, その体積は O 0 1 2 VA=2°z.1-12.1 = 3π √RN²+NH² √2-12 RN=√1-2 ゆえに (2) 立体Aを軸に垂直な平面 z=tで切ったときの, 切り口の図形をEとし,図形Eをz軸のまわりに1回 転させてできる図形の面積を S(t) とする。 立体Bはxy 平面に関し 対称である。 no (ア)1st ≦ 2 図1 平面 z=t における図 図2 平面 x=2における図 2 H・ P S IM P St z=t, 2 t 2 0 HN M x -2-1 0 1 12y S 2 S(t)=PH-RH 2 = (√8–1²)² -π(√2–1²)² = 6 (ア)(イ)より、求める立体Bの体積は VB =S(t)dt = 2*S(t)dt -26x dt + (7-- =2 =2 S 66 立体Bはxy 平面に関し て対称である。 64 3 212 空間内の平面 x = 0, x=1, y=0, y=1, z=0, z=1 によって囲まれた 立方体をP とおく。Pをx軸のまわりに1回転させてできる立体を Px, P 軸のまわりに1回転させてできる立体をP,とし,さらにPx と Pyの少 なくとも一方に属する点全体でできる立体をQとする。 Jano1 (1)Qと平面 z=t が交わっているとする。 このときPx を平面 z=t で切っ たときの切り口を Rx とし,Py を平面 z = t で切ったときの切り口を R, とする。Rx の面積,Ry の面積, R. と Ryの共通部分の面積をそれぞれ求 めよ。 さらに, Q を平面 z = tで切ったときの切り口の面積S(t) を求めよ。 (2)の体積を求めよ。 (富山大) 38 p.403 問題212

なぜ、このように変化しているのですか？

るから 十分条件 -k²+250≥0 -5/10 ≤k≤5/10 するための必要十分条件は、 -k²+250=0 2+250=0 k=±5/10 から

はじめのakの求方が分かりません、教えてください。

(2) a=2+5+8+......+(3k-1) これは,初項 2, 公差3の等差数列の, 初項から 第ん項までの和であるから =1/1/21k(2-2+(k-1)-3)=1/12k(3k+1) ak= したがって S=1/21k(k+1)=1/12(3k2+k) 108 =12(32+) AS- 2 =1/13-1/ n(n+1)(2n+1) + 1+1/2m(n+1)} 12/11/12m(n+1)(2n+1)+1) =1/12-12(+1)-2(+1)=1/12(+1) 3

和積、積和の公式を使いこなせません。どうやったら使えるように気づけますか？

(1)の数列bnの式で、なぜ(n-1)をかけるかわかりません。 （１）、(2)どちらも数列bnの式の求め方がわかりません(bn=an+1-anまではわかる)教えて欲しいです🙇🏻‍♀️

380 基本 例題 19 階差数列と一般項 次の数列{a} の一般項 αn を求めよ。 (1)8, 15, 24, 35, 48, (2) 5, 7, 11, 19, 35, CHART & SOLUTION {a} の一般項 (bn=an+1-an とする) わからなければ,階差数列 {bm} を調べる p.375 基本事項.Gha n-1 n≧2のときabk k=1 ← 初項 (n=1の場合) は特別扱い。 解答で公式を使うときは n≧2 を忘れないように。 また, n=1 ように! (1) 階差数列は 7, 9, 11, 13, 公差2の等差数列 (2)階差数列は 2, 4, 8, 16, 公比2の等比数列 解答 その場合の確認を忘れ 数列 {an} の階差数列を {bm} とする。 (1) 数列{bm} は, 7, 9, 11, 13, 公差2の等差数列である。 ・・であるから, 初項 7, 8 15 24 35 差 : 791113 ゆえに bn=7+(n-1)・2=2n+5 よって, n≧2のとき n-1 k=1 an=a1+(2k+5)=8+2k+5 5)=8+2 n-1 n-1 k=1 k=1 (+) =8+2・ 1/12(n-1)n+5(n-1)=n²+4n+3 また,初項は α = 8 であるから,上の式は n=1のとき ☆ 「n≧2 のとき」とい 条件を忘れないよう k=(n-1)- -1 k=1 2 初項(n=1の場合: 特別扱い。 にも成り立つ。 以上により, 一般項 an は an=n2+4n+3 (2) 数列{bm} は, 2, 4, 8, 16, 比2の等比数列である。 ゆえに よって, n≧2 のとき であるから, 初項 2, 公 bn=2.2"-1=2" 5 7 11 19 35 WW 差 : 2 4 8 16 ← n≧2のとき」とい n-1 an=1+2=5+ 2(21-1-1) 条件を忘れないよう -=2"+3 k=1 2-1 また,初項は α = 5 であるから,上の式は n=1のとき ←初項(n=1の場合 にも成り立つ。 以上により,一般項an は an=2"+3 特別扱い。 基 C

なんで√2なんですか？

6/32 30/32=102 s