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|囲まれた部分の面積Sを求めよ。
基本 例題261 媒介変数表示の曲線と面積(1)
|媒介変数tによって、 x=4cost, y=sin2t (0<ts)と表される曲線とx軸で
、媒介変数tを消去して y=F(x) の形に表すこともできるが, 計算は面倒になる。
3 面積を定積分で表す。 計算の際は、次の置換積分法を用いる。
1 曲線とx軸の交点のx座標(y=0 となるtの値)を求める。
431
OOO00
本 259
できない。
重要190)(重要 262
計
(x,y)
8章
その変化に伴う,xの値の変化やyの符号を調べる。
38
面
(x,一y)
S-Sydx=()f()dt a=f(), b=f(B)
積
解答
のの範囲でy=0 となる tの値は
0SIS
また。 ① の範囲においては, 常にy20である。
(検討
t=0,
2
xとtの対応は次の通り。
π
dx
=-4sint
dt
=x4-x2
t|| 0→
ズ=4cost から
x||4→ 0
dx=-4sintdt
よって
また, 0StS号ではy20で
2
リ=sin2t から
π
T
0
あるから,曲線はx軸の上側
4
2
の部分にある。
『=2cos 2t であり,
dt
=ーズ4-2
dx
0
dt
面積の計算では,積分区間
上下関係がわかればよい か
ら,増減表や概形をかかなく
ても面積を求めることはでき
る。しかし,概形を調べない
ダ-0とすると
π
t=
4
4
|2,2
x
ゆえに,右のような表が得
dt
られる(>は減少,ノは増
dy
2
0
と面積が求められない問題も
0
あるので,そのときは左のよ
0
1
加を表す)。
y
0
aうにして調べる。
dtes+ y4
しても
= sin2t-(-4sint)dt
(*)重要例題 190 のように
ー,→, 1, !を用いて表
してもよい。
『よって S=
1nial
と
(t=0)
1
niat-1
2,2
4 *
0
sin2tsintdt
'sin't(sint)'dt
=8
=8
sin?tcos tdt
/ha0oaie
8
3
とする
(0StSz)とx軸および直線x=rで囲まれる部分の面積Sを
x=t-sint
練習
曲線
【筑波大) (p.440 EX217
261
lソ=1-cost
求めよ。
140 EX216 」
1
K
