なぜここ0<cos<1なんですか？

う 基本例題 151 3倍角の公式の利用 半径1の円に内接する正五角形ABCDE の1辺の長さをα とし, 0 = (1) 等式 sin 30+ sin20=0が成り立つことを証明せよ。 (2) cose の値を求めよ。 (4) 線分 AC の長さを求めよ。 指針▷ (1) 30+20=2であることに着目。 なお, 0 を度数法で表すと 72°である。 (2) € (1) は (2) のヒント よって 解答 (1)0=2/2 から 50=2π このとき sin30=sin(2π-20)=-sin20 したがって sin 30+sin 20=0 (2) (1) の等式から 3 sin 0-4 sin³ 0+2 sin cos 0=0 sin0≠ 0 であるから, 両辺を sin0で割って 3-4sin²0+2cos0=0 (3) α の値を求めよ。 3-4(1-cos20)+2cos0=0 (1) の等式を2倍角・3倍角の公式を用いて変形すると、 coseの2次方程式を導くことができる。 0<cos0 <1に注意して, その方程式を解く。 (3),(4) 余弦定理を利用する。 (4) では, (2) の方程式も利用するとよい。 ゆえに 整理して 4cos20+2cos0-1=0 0 < cos 0 <1であるから cos0= 30=2π-20 0000 −1+√5 4 2/3とする [山形大] p.233 基本事項③ 150=30+20 3倍角の公式 sin 30=3sin 0-4 sin³ 忘れたら, 30=20+02 て,加法定理と2倍角 式から導く。

二,三倍角の公式のような簡単に導出できる公式って覚える必要ありますか？

(2)の一行目の変形が分かりません

88 三角関数の積 次の定積分の値を求めよ。 (1) Sisin2xdr (3) Secos3.sinzdr 精講 今回は三角関数の積分の勉強ですが, 三角関数の場合, 積分の手 が1通りとは限らないという特徴があります。 (3)と(4) は,いずれも置換積分を使う方法とそうでない方法の2つが (2) Josin' rcos' rdx (4) [ sinrdr あります。 解答を2つともかいておきます. ここでも, 「式の特徴を見ぬくカ (数学Ⅰ・A3) が必要になります。 解答 π (1) f' sinardx=1-12 cos21-1/2+1/2=1 2x 0 (2) So sin'rcos' rdr=1 sin'2.rdz π (3) for cos3rsinardr=-12 f (sin4.r-sin2x)dz 4 =1/(1-cos ar) ds-12[x-12 sin 4.x -/12 (14) 2 4 = IC * = (²-1)=²-² 88 64 π π (4) So sin'rdr=-12 (3sinz-sin3z)dr 12xをひとまとめ π = 2 (2 - cos 4x] ² = 1 {(-22-¹)-(²-1)} = - 12/2 1 cos 2x 4 x = 倍角の公式 |積を和差に変える 公式 sin2rdr=2|sin.rcosrdr 4J 1[1 = cos 3.7-3cos |-|(-1-3)-(1-3)) - 51 413 2 24 3倍角の公式 注さて,ここでポイントを見ると(1), (3) (4)には,次のような積分 法も存在することがわかります. (別解) (1) Sasin

cos³xとcos3xは同じですか？違いますよね。 ∫sin³xdxを積分する際に3倍角の公式にしてから計算するみたいなので。 分からないので教えてくださいm(_ _)m

(2) sin 3x=3sinx-4sin³x ²5 sin³x=(3 sinx-sin 3x) よって &>t sin’rdr==|(3sinx—sin3 ) da 3 cosx+; -cos3x+C 4 1 12

定積分です。 3倍角以外の解き方ありますか？？

te Joe* + e-* 2 (26) 1 Cos ³ x COS’ xdx AAE)

(1)はこれ以外の解き方はありますか？

半径1の円に内接する正五角形形 ABCDE の1辺の長さをaとし,0=- 236 基本 例題151 3倍角の公式の利用 %am OOOO0 0-号のとする 2 5 (1) 等式 sin30+sin20=0 が成り立つことを証明せよ。 (3) aの値を求めよ。 (2) cos0 の値を求めよ。 (4)線分 ACの長さを求めよ。 (山形大) Ap.233 基本事項3 計>() 30+20=2x であることに着目。なお,0を度数法で表すと 72° である。 (1)の等式を2倍角。3倍角の公式を用いて変形すると。 (1)は(2)のヒント cOs 0 の2次方程式を導くことができる。0<cos0く1に注意して,その方程式を解く。 (3),(4)余弦定理を利用する。(4) では, (2)の方程式も利用するとよい。 解答 30=2元ー20 Sin 30= 3cin0-75in0 Sine=2SinC cosG 450=30+20 (1) 0=-xから 50=2元 よって sin30=sin(2rー20)=-sin20, sin30+sin20=0 3sin0-4sin°0+2sin0cos0=0 このとき したがって 43倍角の公式 sin30=3sin0-4sin'0 忘れたら,30=20+0とし て,加法定理と2倍角の公 式から導く。 (2)(1)の等式から sin0キ0 であるから,両辺を sin0で割って 3-4sin?0+2cos 0=0 3-4(1-cos'0) +2cos0=0 4cos'0+2cos 0-1=0 ゆえに 整理して =1+/5 4 |0<cos 0<1であるから Cos 0= 円の中心を0とすると,△OAB において,余弦定理により AB=0A?+OB?-20A·OBcos0 4 B E =12+12-2-1-1- 5-/5 2 a>0であるから 5-V5 a=AB= (4) AOAC において,余弦定理により 2 D AC=OA?+0C?-20A·OCcos20 =1+12-2-1-1-cos 20=2-2(2cos'0-1) =4-4cost0=4-(1-2cos0)=3+2cos0 AC>0であるから E B -(2)の(水)から。 AC= 3+2.-1+/5 4 5+V5 2 D 練習|(1) A-1co 3

この問題を数3の三角関数の微分の知識を使い解き方を教えて欲しいです

OO000 基本例題 187 三角関数の最大·最小(微分利用) 0<x<2xのとき, 関数 y=2sinxsin2x-COSXT2 の最大値と最小体 よびそのときのxの値を求めよ。 282 お 【宮城教育大) 基本 125,185 CHARTO 2倍角を含む三角関数 1つの三角関数で表す 2倍角の公式 sin2x=2sinxcosx,相互関係 sin'x+cos"x=1 を用いて だけの式で表す。 cos.x=t とおくと, yはtの3次関数となる。 ! なお,tの変域はxの変域とは異なることに注意。(か.192 基本例題 125 参照) OLUTION y=2sinx·2sin.xcos.x-cos.x+2=4sin'xcos.x-cos.x+2 =4(1-cos'x)cos.x-cos.x+2=-4cos"x+3cos.x+2 coS.x=t とおくと, OSx<2π であるから 『yを!で表すと,y=-4t°+3t+2 であり y=-12°+3=-3(2t+1)(2t-1) 合おき換えによって,とり うる値の範囲も変わる。 -1Sts1 y=0 とすると t-1| … 1 2 2 1 y 0 0 -1StS1 におけるy の増減表は右のように なる。 y 3 Oる 0nf. 3倍角の公式利用 よって,yは t=-1, 号で最大値 3, cos 3x=-3cos.x+4cos'x から y=-cos3x+2 -1Scos 3xS1 から 最大値3, 最小値1 21 0Sx<2x であるから t=-, 1 で最小値1をとる。 る t=-1 のとき x=π;t=; のとき x=%, ; -1 -のとき x%=D今t, :t=1のとき x=0 -π 5 2 * cosx=-1から x=ズ から したがって x= , で最大値3, coSx= 2 5 x= 大阪1は *=0, て,で最小値1をとる。 から COSX=- 3た x= Cos.x=1 からx=0 PRACTICE… 187® 0S0s2r T eB1

(1)のsin３θからの変形の途中式を教えて頂きたいです。お願いしますm(_ _)m

cos0 の2次方程式を導くことができる。0<cos0<1に注意して,その方程式を解く。 20 0000 236 3倍角の公式の利用 半径1の円に内接する正五角形 ABCDE の1辺の長さをaとし a2 (1) 等式 sin 30+sin20=0が成り立つことを証明せよ。 (2) cosの値を求めよ。 (4)線分 ACの長さを求めよ。 基本 例題 151 57とする。 (3) aの値を求めよ。 (山形大 p.233 基本事項 ) 指針> (1) 30+20=2xであることに着目。なお, 0を度数法で表すと 72°である。 (2) O (1)は (2) のヒント DS0 A (3), (4) 余弦定理を利用する。(4) では, (2) の方程式も利用するとよい。 解答 020g0mi よって 30=2π-20nid(50=30+20 (1) 0=-ェから 50=2π sin30=sin(2r-20)=-sin20 sin30+sin20=0 3sin0-4sin°0+2sin0cos0=0 3D0200 このとき したがって 13倍角の公式 sin30=3sin0-4sin'0 忘れたら, 30=20+0とし て,加法定理と2倍角の公 式から導く。 (2) (1)の等式から sin0キ0 であるから,両辺を sin0で割って 3-4sin?0+2cos0=0 > 園お ゆえに 3-4(1-cos°0)+2cos0=0 4cos'0+2cos 0-1=0 整理して -1+V5 0<cos0<1であるから cos 0= 0-T-300 A CO8, 0- (3) 円の中心を0とすると, △OAB において, 余弦定理により o (3) AB=0A?+OB?-20A·OBcos0 0S(1-020o S) -1+5_5-/5 a B 1 02| E %D 4 2 っle0 a>0であるから 1 6る 01- -00 5-/5 a=AB= 2 (4) AOAC において, 余弦定理により D AC=OA?+0C?-20A·0Ccos 20 =12+12-2-1-1-cos 20=2-2(2cos'0-1) =4-4cos°0=4-(1-2cos0)=D3+2cos@ (4) A AC>0であるから B 1 E ー(2)の(*)から。 3+2.こ1+/5 4 AC= 5+5 1 2 D のTの O

マーカー部分のsinθ≠0がどこからきているのかわかりません

(1) 0=36° のとき, sin30=sin20が成り立つことを示し, cos 36° の値を求めよ。 OOO00 236 基本 例題151 3倍角の公式の利用 2 半径1の円に内接する正五角形 ABCDE の1辺の長さをaとし, 0= (1) 等式 sin 30+sin20=0が成り立つことを証明せよ。 (2) cos0の値を求めよ。 (4) 線分 ACの長さを求めよ。 号とする。 (3) aの値を求めよ。 (山形大」 p.233 基本事項3 指針>(1) 30+20=2πであることに着目。 なお, 0を度数法で表すと72°である。 (1)の等式を2倍角·3倍角の公式を用いて変形すると (1)は(2)のヒント cos 0 の2次方程式を導くことができる。 0<cosθ<1に注意して, その方程式を解く (3), (4) 余弦定理を利用する。(4) では, (2)の方程式も利用するとよい。 解答 ) 0=xから 50-2x 50=2π よって 30=2元ー20 450=30+20 sin30=sin(2r-20)=-sin20 sin 30+sin20=0 3sin0-4sin°0+2sin@cos0=0 このとき したがって (2)(1)の等式から (3倍角の公式 sin0キ0 であるから,両辺を sin0で割って 3-4sin°0+2cos0=0 3-4(1-cos'0)+2cos0=0 4cos'0+2cos0-1=0 sin30=3sin0-4sin'0 忘れたら,30=20+0とし て,加法定理と2倍角の公 式から導く。 ゆえに 整理して Cos 0=1+V5 4 0<cos0<1であるから (3) 円の中心を0とすると, △OAB において, 余弦定理により AB=OA?+OB?-20A·OBcosθ =1 E =1°+1-2-1-1.-1+/5 4 5-V5 B 2 11 0 a>0であるから 5-V5 a=AB= 2 (4) AOAC において, 余弦定理により D AC=0A?+OC°-20A·0Ccos20 =12+12-2-1-1.cos20=2-2(2cos"0-1) =4-4cos0=4-(1-2cos0)=3+2cosθ E B AC>0 であるから L(2)の(*)から。 AC= 3+2· -1+V5 5+ 5 1 ミ 4 2 D 練習 151|(2) 0=18° のとき, sin20=cos30 が成り立つことを示しsin16 (3 の値を求めよ。

数2の質問です🙇‍♂️ (3)の解説で、1行目にある 2sinθcosθ=3sinθ-4sin3θ がどうやって導かれたのかがぱっとせず、、 右側には(1)を利用、と書いているのですがどうやってこの式を前の問題から導くのでしょうか… 手順を教えて下さると嬉しいです😭

109 (1) 次の等式(3倍角の公式)を証明せよ。 sin 3a = 3sin a-4sin°a, cos3a= -3cosa+4cos®α || (2) 0=36° のとき, 等式 sin 20 = sin30 を証明せよ。 (3) (2) の等式を利用して, cos36° の値を求めよ。 -ま803xnid miel= 解答(1) sin 3a = sin(2a+a) =sin 2a cosa +cos2α sin ao+I =2sin « cosa.cosa +(1-2sin'α)sin α - 加法定理。 -2倍角の公式 xSmie S=I+a0-SmiaS x8ia 三 xSmia =2sin a(1-sin’α)+sinα- 2sin a S20コ-=3sin α -4sin3g I+ = cos(2α+ α)=cos 2α cosa- sin 2α sin a =(2cos'a- 1)cosa-2sinacosa·sin a 加法定理 -2倍角の公式 Cos3a ニ =2cos°a -cosa-2(1-cosa)cosa miezl- =-3cosa + 4cos°a 50= 180° (2) 0=36° のとき sin 20 = sin (50-30)=sin(180°-30)=sin 30 2sin O cos 0 =3sin0 - 4sin*0 よって x.S (1)を利用 (3)(2) から,0=36° のとき sin 0 =sin 36°#0であるから,両辺を sin0で割って 2cos 0 =3-4sin'0 2cos0 =3-4(1-cos'0) 4cos?0 -2cos0-1=0 1土V5 よって cos0 = 4