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2013 熊本大学数学
①mを3以上の奇数として、次の集合を考える。
Am = { mC₁, m C₂, " mCmy]
-
(1) Agのすべての要素を求め、それらの和を求めよ。
(2)m Cayl が Am内の最大数であることを示せ。
(3) Am内の奇数の個数をとする。が奇数であることを示せ。
(1) A={,C, C220C3C4}様子見問題!!
(2)
求める和は、CityC2+C3+9C4-9036=84+126-255
mCk =
Chem Chの大小を調べる!!
①②
n(n-1)xx (n-k+1)
皮(R-1)××3×2×1
(+1
(n-1)xx (n-k+1)x (n-k)
9C3=9×8×7
#
具体例
3×2×1
の ②
9C4=
(皮+1)皮(R-1)××3×2×1.
9×8×7×6
43×2×1=9C3
9C4 = 69C39C3<9 C4
ここから、mck=mChとなる。
4
www
+1
wwwww
n-k
>であれば良いので、nk>k+1k<=であれば良い。
2
2
今回考えている集合Amは、
よって、≦3の範囲では、
{mci
n-k
k+ |
{aliale Caps]
Ch..
115
m
↑m CamCaoiとおく。
1≤k, k+1=m-1
2
⇒となる。
2
>1となり、<aCarl
'
in C <m C 2< <m Cm-3 < m CL
#

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(3)何をしたら良いか、サッパリ分からん!!⇒前の問がヒント!
mCo+mCi+mCz+…+mCm=2m+二項定理より、
ex. aCo+aCi+qC2+9C3+qC4
aCa+qCs+C+Co+9C5
29
) = 2º
Sとすると、1+1+2S=29 >S=255
mが偶数であると仮定する。背理法
Amの要素の和をSとする。Amに属する(奇数)は偶数個で、残りは偶数なので
Sは偶数・・・①
nCo+mCi+mC2+…+nCm=2m
mCo=
=mCm=1 これらより、2+23=2m
mCi=mCm-l
⇔23=2m-2
21の時はX
mca=mcm-2
n
Cm1 = m Cm
M
<> S = 2"-1
wwww
M≧3より、Sは奇数となるので、①に矛盾。
よって、は奇数である。

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② f(x)をスニーノで極大、2で極小となる3次関数で、
Sof'(x)dx=-5
を満たすものとする。
(1) f(x)を求めよ。
(2)f(x)の極大値、極小値の差を求めよ。
(1)条件より、f(x)は2次関数で、x=-1.2でf(x)=0となるから、
f'(x)=a(x+1)(x-2)とおける。(aキロ)
= a(x²-x-2)
また、S?f(x)dx=a^(スースース)dx=a[1/31/ズー2枚]
=a(-2-4)=-1a=-5
f(x)=3/2(ス+1)(x-2)
よって、a=2/2
#
このとき、
x
145
-1
112
2
VEN
となり、
増減表はf(x)+
0
-
I
+
条件は成り立つ。
f(x) /
極
小
(2) f(x)=1/2(スースース)より、f(x)=1/2(1ー1/2-2x)+C(Cは定数)
(極大値)=f(-1)=27/72+C
(極小値)=f(2) =-5+C
これらの差は、
27
(+C)-(5+c)=4

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Fab
3 直方体OABC-DEFGにおいて、OA=OD=1.0C=2とし、EFの中点をMとする。また、
op=to (osts)とし、点Pから線分CMにおろした垂線と線分CMとの交点をHとする。
==とすると、
また、=
(1) CMPをすごすもを用いて表せ。 Ad
(2) PHをおこすを用いて表せ。
(3) 112+2の最小値を求めよ。
(1) PC OC-op--td, CM= OM-oc
→
PMOM-OP= a++ (1-+)
(2)
M
H
a
=
0
Dy
P
'
H
M
←
ベクトル方程式
Hは直線CM上の点なので、PH=PC+CH=PC+RCM
=(ビーナ)+(1/2)=(1/2)+(+)
PHCM, PHCM = 0 <>ha--) (+)}· (a + + α)=0
k-1/2(1)4+(-toh)x1=0<>3k-t-2=0 >koto2
3
所望すすむ等を用いて計算をカンタンに!!
t+2
2
(3)1=ピ(op=t)=(芋)11(47) 24.(2/2)^1=1/2(2ピー4t+8)
x+
×4+
よって、1612+112=1/12(5t-4t+8)
プ
- 5 (t-33)²+ 1/32 (ost≤1)
5
したがって、十二号のとき、最小値号をとる。

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④ 数列{an}の初項から第n項までの和Snが
Sn=2an+m²
で与えられるとき、以下の問いに答えよ。
(1) ant) をanを用いて表せ。
(2) annの式で表せ。
(1)基本事項
aitazt.tan = Sn
S₁ = a₁
Sai+a2
S3 = ai+a2+a3
S4=astastas+a+
an={
Si(n=1)
Sn-Sn-1 (n≥2)
①→+1と置くと、Smtl=20ml+(n+1
② ①より、Snti-Sn=2anti-2an+2n+1
・an+1
-an+1=-2an+2n+1
⇒an+1=2an-2n-1
#
(3)
{an++g}が公比2の等比数列となるように、
(2)①でm=1として、S=2a,+1a,=-1
ww
ai
Anti+p(n+1)+b^2(antmm+b)の形にしたい。
banti
bn
⇒lmoi=2lan
③より、an+1=2an-2m-1
比較
⇒anti=2an+mm-m+q
m=-2
- p + q = -1 q = -3 ⇒anti-2(n+1)-3=2(an-2η-3)
{an-2m-3}は公比2の等比数列となる。初はa1-2-3=-6より、
an-2m-3=-6×2m-l<>an=-3.2m+2m+3.
#