理解出来ました！
ありがとうございました

50乗をするのは単に「4^50ってめちゃくちゃ大きな数でしょ！でも余りが1ってことに気づけば単に1^50=1なんだなあ」という出題者の意図です。50乗や101乗するのは次のステップとして「指数の偶奇によって余りが異なる」ということに着目させたいだけです。
合同式を使う意味ですが、この場合だと具体的に4という数字が与えられているので「3で割ったら余りは1じゃん！それなら1^50で終わり！」みたいに簡単に事が済むのですが、例えば次の場合だとどうでしょう？
nを3で割ると1余る自然数とする。この時n^2-nは3で割り切れることを示せ。
こういった場合には具体的な数字は与えられていないのでnがどんな数が決めてやる必要があります。この問題はn=3k+1(kは整数)と置いて代入することで示せます。ですが、代入して二乗して引いたりするのはめんどくさくないですか？
そんな時に合同式を使えばn≡1なので与式に代入してn^2-n≡1^2-1=0と簡単に書けます。というか手が疲れないです笑
簡単に言えば合同式は簡略化のための道具です