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対数関数 教えて下さい

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このノートについて

すず

すず

C3とC4の(2)と(3)を教えて下さい。

コメント

佑紀

どうでしょうか?

すず
著者

なるほど!
途中でつまずいていたのですが、理解することができました。
ありがとうございます!

佑紀

⑴log10(4)=log10(2^2)
log10(5)=log10(10/2)
log10(6)=log10(2×3)
あとは与えられている値を代入します。

佑紀

底の10は略しますね。
⑵48<49<50
log48<log49<log50 (∵底10>1)
log(2^4×3)<2log7<log(5×10)
あとは左右の項に値を代入します。

佑紀

いえいえ!

佑紀

⑶n^7が7桁ということは、
10^6≦n^7<10^7ということ。

※わからなかったら小さい数字で考えてみるといいです。例えばaが2桁だったら、10≦a<100すなわち10^1≦a<10^2

10^6≦n^7<10^7より
log(10^6)≦log(n^7)<log(10^7)
6≦7logn<7

ここからlognの範囲でます。その値を「log2, log3...」の値と比較して、範囲をみたす整数を選べばよいです。

佑紀

⑷1の位は簡単に出るので先にやります。
18の1乗、2乗、3乗…の1の位の数を調べると、「8 6 4 2 0 / 8 6 4 2 0…」となります。
したがって、6ごとに繰り返していることがわかります。
18^50=18^(6×8+2)より、6を8回繰り返しさらに2だけ後の数が1の位の値です。

佑紀

次に桁数です。
18^50=10^nと表せば、nの整数部分+1が桁数です。
(例えば10^2なら100なので3桁です)
でもそのようなnを探すのは無理ですよね。そこで対数を取ります。
50log18=n
n=50log(2×3^2)

あとは計算してください。

佑紀

さて、aを整数部分、bを少数部分として、
18^50=10^(a+b)となったとします。
すると、bの値によって最高位の数字がわかります。

(例えば10^(2+0.3010)(=Aとする)になったとします。
それはつまりA=10^2×10^0.3010=100×2ということです。(log2=0.3010は、10の0.3010乗が2という意味)
ということは、A=200になるので、この場合最高位は2です。
次に、B=10^(2+0.3110)と、0.01だけ余分なものがついていたとします。これを計算すると、B=100×10^0.3110となりますね。
0.3010<0.3110<0.4771より、
2<10^0.3110<3となります。よって、B=2.○○×100です。小数点以下は最高位には関係ないので、少し余分なものがくっついていても関係ないということです。)

さて、10^(a+b)と出たので、上と同様に、logm≦log10^b<log(m+1)
つまりlogm≦b<log(m+1)をみたす整数m最高位の数字です。

すず
著者

本当に詳しく教えていただきありがとうございます!
とても助かりました!

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