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No.
Date 26.4.4
集合
論理
部分集合 要素 共通部分 和集合
必要条件 十分条件 命題
PならばQ
ための
ビはのための
Pはの必要条件十分条件
必要条件
62はPのための
数学を記述するための基本的な言語←これは集会のこと?
論理のこと?
両方の
集合っぽいな・
集合を使ってすべてのものが書ける、集合がすべて(ひとつの立場だけど)
線形代数 微積分
「ベクトル空間
集合 要素間の足も実数 複素数 スカラーイ
ものの集まりがあって、そこに足し算とかスカラーという講造が乗っていて
それらが適切な性質を満たす。そういう状況で○○な理論が展開できる
線形代数2ではこういうことをやっていた
この先学んでいく数学も同じようなスタイルで説明される
何かの集合がある
集合に構造がある
この性質を満たすなら、さらにこういう性質を満たす
集合と構造がどんな性質を満たすか
ある性質と技を満たすものと、別の性質を満たすものの間にはこういう関係が
ある、
いろんなものを定義して、それらの性質を述べていく一番もとになる言語が集合
その集合の扱い方についてろんなことを基本的なことを学んでいく

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Niv
Date
論理
いろんな数学的対象の性質がある
例えば線形代数ならその有限次元なベクトル空間にはその次元が
一意的に定まる (例なので分からなくてよい)(詳しくは線形代数2で!)
何らかの方法で証明される
この証明は論理的に記述される
数学的な対象のいろんな性質を定理という形で述べる
例線形写像が対角化するための必要十分条件は何ですか?
ニラハラ証明を書くのが論理。命題の形をしている。命題を証明するというのは
どういうことかを学ぶ
ポアンカレ予想
と3次元閉多様体は単連結ならば3次元球面と同相
これが何を書いてるかはまだわからなくてもよいが...
3次元の空間またはより高次元の空間を考えることができる
4次元以上の空間をイメージすることは難しいけど、数学はそれを記述できる
高次元の空間をどう扱えばいいか?→集合のことばで書かれている
論理のことばで性質を記述できる。
性質は目に見えないけど、論理を使って性質を記述できる
さらに何らかの性質を証明できる
3次元閉多様体は単連結ならば3次元球面と同相(再)
次元、多様体という概念がある
(閉というのは多様体の性質)
単連結というのは性質
多様体という集合がある。その集合に位相という構造がある
さらに微分構造というのがついてる
(ベクトル空間という集合に足し算やスカラー倍という構造があったのと同じ)
これを説明するためにも集合のことばからスタートする。
(空間というものの数学的な定義。もちろんある程度の直感はあるが、直感だけでは
証明をきちんと書くことは難しい。集合のことばを使うときちんと定義ができる
さらに論理を使ってあつかうことができる)