ページ3:

สมบัติการบวกเวกเตอร์
ให้ u, V และ W เป็นเวกเตอร์ใด ๆ
ผลล
1. สมบัติปิด
2. สมบัติการสลับที่
3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม
4. สมบัติการมีเอกลักษณ์การบวก
5. สมบัติการมีตัวผกผันการบวก
u + v เป็นเวกเตอร์
u
+ v = v
+ v = v + u
(สลับที่ได้)
( u + v ) + w = u + (v + w)
u + 0 = u = 0 + u
เรียก 0 ว่าเอกลักษณ์การบวกของเวกเตอร์
แต่ละ น มี -u ที่ทำให้ น + (1) = 0 = (-4) + u
=
เรียก -ū ว่าตัวผกผันการบวกของ u
Check Yourself 3
=
จงหาผลบวกเวกเตอร์ในแต่ละข้อต่อไปนี้ และพิจารณาว่าผลบวกของเวกเตอร์ในข้อใดเป็นเวกเตอร์ศูนย์
1. AB + BAAA = 0
2. CB + AC = AC + CB = AB
3. PO + (OR + SP) =
SR
4. (NO + QD) + (AQ + DN) = QQ + NN = 0
5. AB + FG + BD + GC + CA + DF = AA = 0
1
4
2
S
3
บทนิยาม 1.3 ให้ น และ V เป็นเวกเตอร์ใด ๆ ผลลบของเวกเตอร์ น ด้วย ที่ เขียนแทนด้วย น – V กำหนดโดย
u-v=u+(-v)
-
จากบทนิยาม 1.3 จะได้ว่า การหา น – V ทำได้โดยหาผลบวกของ นี้ กับนิเสธของ " ดังรูปที่ 10 นอกจากนั้น การหา น - 1
v อาจ
ทำได้อีกวิธีหนึ่งโดยให้จุดเริ่มต้นของ นี้ และ ที่ เป็นจุดเดียวกัน แล้วลากส่วนของเส้นตรงเชื่อมจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ทั้งสอง ซึ่ง
u – V จะเป็นเวกเตอร์ที่มีจุดเริ่มต้นอยู่ที่จุดสิ้นสุดของ V และมีจุดสิ้นสุดอยู่ที่จุดสิ้นสุดของ นี้ ดังรูปที่ 11
ตอตง
15
u-v=u+(-v)
-V
u
u-v
เพื่อน ๆ คิดว่า นี - บี เท่ากับ บี - ū หรือไม่คะ
รูปที่ 10
รูปที่ 11
ตวลบ
1
บทที่ 1 เวกเตอร์ เ
9

ページ4:

ตัวอย่างที่ 3
D
กำหนดให้ u = AD, v = BA และ W = BC จงเขียนเวกเตอร์ BD และ CD ในรูปของ น, v และ w
=
B
A
W
BD
B + D
: BA + AD
ตัวอย่างที่
A
น
1-
4
CD
:
V + นี
C + D
C8 + 80
- Ñ + v + ū
กำหนดรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD ให้ 1 = AB และ V = AD จงเขียนเวกเตอร์ BC, CD และ CA ในรูป
C = 40 เพราะขนาดเท่ากันและทิศทางเหมือนกัน
ของ u และ v
B
13
(1.
co
:
=
v
: -
AB เพราะขนาดเท่ากันแต่ทิศทางตรงกันข้าม
= - ů
CA = CD +DA
ะ - นี + (บี)
10
สมบัติการสลับที่
2. CA
:
CB + BA
:
Check Yourself 4
จากรูปที่ 12 จงพิจารณาว่าข้อต่อไปนี้เป็นจริงหรือเท็จ
1. a + b = e
2. d + a + b + c = 0
3. b – e = g
-e=g-f
4. a + b + e + f = g
5. d − e + f = g
+
=
6. c + d + e = = 0
233231 พื้นฐานพีชคณิตนามธรรม
-
10
10
10
☑
e
1.c
b
10
a
รูปที่ 12
g

ページ5:

แบบฝึกหัดที่ 1.2
1. จงเขียนเวกเตอร์ในแต่ละข้อต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปผลบวกหรือผลลบของเวกเตอร์ดังรูป (อาจมีมากกว่า 1 คำตอบ)
B
A
(1) AD
(2) DB
(3) AC
AC + CD 9 (BA) + (-DB).
AB (BC).
-AD + (-BA) (-CD)+ (-BC.).
-ARt.Act. (BC).
AD + (- CD). (AB) + B.C
(4) CD (-CB) + (-BD)
......
(-CB) + (-BD) 9 (-CA)+ AD
(5) BC
(-BD) + (-DC)
BA + AC
2. กำหนด ABCDEF เป็นรูปหกเหลี่ยมด้านเท่า ให้ u = AB, v = BC และ w = CD จงเขียนเวกเตอร์ต่อไปนี้ในรูปของ u, v
และ w
F
V
E
13
u
=
12
17
A u
W
(1) AD
AB + BC + CD = U + ÿ t W
=2V
พ.ท.นี..
(2) EA
EF + FA = W + (-)..
C
B
(3) CF
CD + DE + EF = W - Ū - Ñ
3. กำหนด ABCDEF เป็นปริซึมฐานสามเหลี่ยม ให้ u = AC, v = AB และ w = EA จงเขียนเวกเตอร์ต่อไปนี้ในรูปของ u, v
และ w
(1) DA
=
=DC + (-AC) = w-u
D
C
u
A
W
15
V
(2) CF
B
=(-ED)+(EA) - u+w.
=(-DC)+(-ED)+(EF) = -- +V
:-
= (-ED) + (EA) + (AB) + (- FB) = -μ++v-Ñ
(3) BD
= ( - AB ) + ( − E A) + (ED) = −√ √ tū
= (- FB) + (-EF) + (ED) = -W-V+ū
= (-AB) + AC + (-DC).
11
บทที่ 1 เวกเตอร์

ページ6:

4. กำหนด ABCDEFGH เป็นทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากดังรูป จงหา
H
B
F
(1) EC + DE - AF
= EC + DE + FA
= (DE + EC) + FA ; DC = EF.
= EF + FA= EA
(2) (FG - AH) - DC
(FG+ HA)-DC..
(FG+ GB) +BA.
G
= FA
HA = GB bbo % -DC = C₁ = B
BA
5. จากรูป จงเขียนเวกเตอร์ต่อไปนี้ในรูปของ t u v และ w
(1) BE
13
13
D
t
W
C
า
A
(2) CA
-t- -v .-- -
(3) (AB
DB) + DE
B
+ (BD) + B.E.
AE
(4) (BA + AE) - (DC + CE)
[ ( - Ñ - Û ± Ñ ) ± Ñ ] – [ ( §) + (-† -µ)]
= ( - ŭ ± Ñ ) - ( - ŭ).
6. กำหนดปริซึมสามเหลี่ยม ABCDEF ให้ t = BA, u = BC, v = AE และ w = DA ดังรูป จงเขียน EF, CF และ FB ในรูป
ของ t, u, v และ w
EFAE + (-BA) ± (− Ì
(- FB.)
D
E
W
A
F
12
233231 พื้นฐานพีชคณิตนามธรรม
1>
u
- v - F + v
B
CF = BC + ( FB)
FB = FB + (-AE)+(-BA)
= 1 +
= -v