ページ1:

ความหมาย
ex. จงหาตำแหน่ง 4,
เมทรกซ
หลัก 1 หลัก 2 หลัก 3
แถว 1
1
2
3
แถว 2 | 4
5
6
แถว 3→
ฯ
9
9
เรียกว่า เมทริกซ์
Sol
an
หมายถึง แถว 1
หลก 1
.. Qn 1
หลัก 1
ง
24. จงหาตำแหน่ง 43
Sol 4 หมายถึง แถว 3
.. QA '7
ก ร า น ส ร ม ร เ ม ท ร ก ๆ
คือ การเปลี่ยนแถว - หลัก, หลัก - แถว (สัญลักษณ์ A
1 2 3
ex.
A. 4
5
6
ก า ร เ
3.
2 × 3
A* =
2
5
3
6
3 × 2
33
+
แถว หลัก
ex.
3
=
B =
3
4
4
2*2
2 × 2
1 ก น
เท่ 1 ก นาว
เมท
เท่ากัน ตำแหน่งของเมทริกซ์จะต้องมีค่าเท่ากัน (ใช้แก้สมการ)
ex.
2
[1+1 5+1]
5 6
[23 3*3]
ex.
6
=
6
5
2
ช
[2% 6
23
1
6
ไม่เท่ากัน หากมีตำแหน่งใดไม่เท่ากัน ถือว่าเมทริกซ์นั้นไม่เท่ากัน
ex.
1 2 3
2
3
4
5 6
#
4
5 6
1
9
1 8
11
ก า ร บ ว ก เ ม ท
ex.
「: :
2 * 2
1+5 2+6]
3+ 4+8
+
5 6
[; }]
1
2×2
ก
ต้องมีจํานวน แถว และหลีกเท่ากัน
9
=
10 12
เท
ก ซ
ex.
1
23
x
+
3
-X 1
「1+23
2+x]
=
3-X
「 23 + 1
4+1
x+2]
=
X-3
5

ページ2:

เ ม ท ร ก * ส น
ถ้าสมาชิก เป็น 0 หมด เมทริกซ์
ex.
0 0
[::].
0
[0]
0
0
0
ย
: + 0
ก
า ร ค ณเ
ม ท ร ก ที่ 3
ย
1
นว
น า 3
ง
ex.
1
2 3
2(1) 2(2) 2(3)
=>
A =
5 6
2A
2(4) 2(5) 2(6)
2
4
6
8
10 12
แ บ บ ฝึ ก ห ด
=>
-2A-
[-2(1) -2(2) -2(3)]
-2(4)-2(5) -2(6)
-2 -4 -6
-8 -10
-12
1. ก้าหนดให้ A
= 2 1
B
-1
5
ง
4
3
6
-2
2-2
2-2
1.1) 2A 3B
Sol 2A=
2(2) 2(1)
3B=
3(-1) 3(5)]
1.2) 3A-5B
Sol 3A
3(2) 3(1)
58-
5(-1) 5(5)
2(4) 2(3)
3(6) 3(-2)
3(4) 3(3)
5(6) 5(-2)
4
2
-3 15
6
3
-5 25
8
6
19
-6
12
9
30
-10
2A +3B=
4-3
2 + 15
3A-5B =
6+5
3 - 25
8+18
6-6
12-30 9 + 10
#
1
17
1
-22
26
0
-18
19
1.3) 1A 1B
Sol 1A=
2
PEA
FA
[2 }]
1A 1B =
1A * 18
TAA
1(-1)
1(6)
(-2)
[19]
N Fle

ページ3:

ก า ร ค ณ เม ท
ก
* ดี ว ย เ ม ท ร ก *
คุณกันได้ก็ต่อเมื่อเลขตัวข้างในเหมือนกัน และผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นตัวนอก
ex. [123] * 4
1 × 3
5
3 × 1
ผลลัพธ์เป็น 1 × 1
ex.
Sol
ex.
1
2
3
3
4
5
6
2
2*3
1
,ผลลัพธ์เป็น 2 · 1
Sol
3 × 1
5
6
[ 1 2 3 ] : [1(4) + 2(5) + 3(6) ]
[ 4 + 10 +18]
[32]
2
[38].
4 5 6
=
.
2
1
1(3) + 2(2) + 3(1)
4 (3) + 5(2) + 6 (1)
+3
12+10+6
10
28
Sol
2*2
2*2
-3
-1
ผลลัน เป็น 2-2
-3 4
-3(2)+4(-1)-3(-3)+4(5)
0 (2) + 1(-1)
- C - 4
-1
0 (-3) + 1(5)
9+20
5
-10 29
-1 5
.
เ ม ท ร ก ๆ เ อ ก ลั ก ษ ณ
ไม่ว่าจะมีกี่แถว / หลัก ถ้าเป็น 1 ทแยงลงไป เรียกว่า เมทริกซ์เอกลักษณ์
1.
N
1 0
0 1
1
0
0
I
=
0
1
0
0
0
1
ดเท่ ง ร ม แ น
คือ det หาได้จาก A = a b
C
det A =
d
a
C
บ
b
d
det A - คุณลง - คณาน
ex.
A =
1
4
Sol det A =
: :
2
จงหา det A
1
2
คุณ น
คุณลง -
1(4) - 3(2)
= 4-6
= -2
... det A -2

ページ4:

เมท
เรียกว่า adjoint สัญลักษณ์ adj A
ex.
1 2
3
จงหา adjA
A =
-2
3
-1
-3
1
2
Sol
¨ CM (A)
C₁₂ (A)
C₁₂ (A)]
adj A =
C₁₁ (A)
C₁₂ (A)
C₁₂ (A)
C31 (A) C32 (A)
C33 (A).
C (A) = (-1) (3(2)-1(-1))
.
C₁₁(A) (-1) (2(2)-1(3))
C31 (A)
.
. 1
= -1
.
C (A)
.
(-1) (-2(2)-(-3)(-1))
C₁₂ (A)
=
(-1) (1(2)-(-3)(3))
C32(A)
.
ฯ
= 11
.
-5
C3 (A) =
(-1) (-2(1)-(-3) (3))
C₁ (A) = (-1) 23 (1(1) - (-3)(2))
C33 (A)
1
"
1
1
1
ๆ
adj A
2 -1 1
ๆๆ
| 11 -5
1
1
-1-11
ทรานสโมส
= 1
ฯ
11 -5
1
(-1) (2(-1)-3(3))
-11
342
(-1) (1-1)-(-2)(3))
(-1) 33 (1(3)-(-2)(2))
ก า ร ห 1
ex.
น
เ
ว
อ
ส เ ม ท ร ก * 3
3
1
2
3
A =
-2
3
-1
=>
A₁₁ =
1 adj A
det A
-3
1
2
С (A)
C₁₂ (A)
C₁3 (A)
หา adj A
=
C₁₁ (A)
C₁₂ (A)
C₂ (A)
C3₁ (A) C32 (A)
C33 (A)
Ch (A)
= (-1) (3(2)-1(-1))
C₁₁(A)
5
(-1) (2(2)-1(3))
C31 (A)
(-1) (2(-1)-3(3))
=
-1
-11
C12 (A)
C13 (A)
= 7
=
(-1) (-2(2) - (-3)(-1))
C₁₂ (A) =
(-1) (1(2)-(-3)(3))
C32(A)
3+2
(-1) (1(-1) (-2)(3))
.
1
"
11
.
-5
.
(-1) (-2(1)-(-3)(3))
C23 (A)
.
(-1) 3 (1(1)-(-3)(2))
C33 (A)
0
(-1) 33 (1(3)-(-2)(2))
=
1
1
1
1
-1 -11
หา det A
−27 + −1 + - 8
.
-36
adj A
=
-1 11 -7
1
11
-5
2
X12
-11 -5 1
1
1
A =
-2
3
=
7
-1 -11
ศรี
1
ฯ
11
-5
42
1 1 1
"
TIC AC FE
FIC OF C
det A
73
=
=
คุณลง - คุณขึ้น
6-(-36)
42
6

ページ5:

โ ค แ ป ก
สูตรของโคแฟกเตอร์
ตอ
Cij (A)
(-1) Mij (A)
ex.
1
2
3
จงหา CCA)
A =
4
5
6
9
9
ex. จงหา C (A)
Sol
AD
1
3
Sol
A
จ 9
i+j
จากสูตร Cij (A) = (-1) Mij (A)
แทนค่า C (A) = (-1) 1 (4)
2+1
(-1) 2
8
= -1 (2(9)-8 (3))
1
9
จากสูตร C (ค)
แทนค่า C (ค)
= -1(18-24)
= -1(-6)
= 6
.. C (A) - - 12
i+j
=
(-1) Mij (A)
(-1) M₁₂ (A)
= 1(109) - 7(3)
= 9-21
=-12
.. Ca(A) = C
ก า ร ห 1
ด
เ
ท a
มี แ น น ต ที่ ม า ก ก 2 1
2
2
ex.
1 0
-1
จงหา detA
A = 2
3
1
1
2
1
Sol
ต้องเขียนเพิ่มขึ้นมาเพื่อให้สามารถคุณได้
A =
2
C
2
−3 + 2 + 0
-1
04
3
2
^3 + 0 +-4
det A = คุณลง - คุณขึ้น
-7-(-1)
=
-6
...det A = -6
เมท
ก
เ a ก ๆ 1 น
ถ้า A เป็นเมทริกซ์เอกฐาน det A = 0 (ทำให้หาอินเวอร์สไม่ได้) เมทริกซ์เอกฐาน จะไม่มีอินเวอร์ส (คล้าย ex. แรกใน P.4)

ページ6:

อ น เ ว อ
.
3 ส ก 1
$ ค ณ ปี 3
เมท
0 1 2
# 2
.
If
A = a b
and
A"=
deta
C
d
ex. หา อินเวอร์สของ A
Sol Ae
3
= 3
[]
3
หา det A : det A = 3.
: :
2
คณลง - คุณจิ๋น = 3 (3) - 2(4)
= 9-8
1
deb
CC a
Note ถ้า det A = 0 - 1 หาค่าไม่ได้
เมทริกซ์ 4 จะหาค่าไม่ได้ เรียกว่า เมทริกซ์เอกฐาน
ไม เน อ
ไมเนอ
1
a ง เ ม ท 3 ก
(All) คือ det ของ เมทริกซ์ ตัวใหม่ที่เกิดจากการตัด แถว 1. หลัก) ของเมทริกซ์นั้นออกไป
ex.
A =
1 2 3 จงหา M, (4)
4 5
6
8
Sol
A =
+
9
4
6
ม 9
M (A) ; ตัด แถว 1 หลัก 2 ออก
คุณลง -
คุณขึ้น
4(9) - 1(6)
=
3C - 42
= - G
M₁₂ (A)=-6

ページ7:

ก. 1
$ 1
1
เ
มา
i n
* แ ก ส ม ก า ร เ
เ
น
ex.
2x + 3y = 5
x + y = 2
SoL
2
ตัวแปร
[330-8
จะได้
1
สัมประสิทธิ์
ผลลัพ
[] [3]
2
2
3
1
จาก สมบัติ [A][B] = [C][D]
จะได้
(ถ้าต้องการหา B)
AI[B] - [A] [clip] (เมทริกซ์ไม่มีหาร จึงต้องคอนเวอร์ส)
[8] =
[A][C][D]
x = 1,41
y
3
5
1
2
3
ให้ A = 「2 3
1 1
A¹¹ =
1 | 1| 3
detA
จะได้
| 1 | 2
det A = คุณลง - คุณขึ้น
= 2(1) - 1(3)
-1
A"¹ =
- 1
-3
-1
2
| -1
3
| 1 | 2
ก ฎค ร 1 เมอ
ex.
2x + y = 1
3x-2y 4
Sol
31 A
=
.
2
สัมประสิทธิ์ ม
|
-2
สัมประสิทธิ์ 9
คุณลง - คุณขึ้น
=-4-3
= -7
หา AX =
=
ผลลัพ
-2
สัมประสิทธิ์
คุณขึ้น
คุณลง - คณ
=-2-4
-6
หา A9 -
สัมประสิทธิ์ ม
2
ผลลัพ
คุณลง - คูณขึ้น
: 9-3
= 5
21
.
หา 3
.. X
=
.
"
-6
3
=
1
-2
-1(5) + 3 (2)
1(5) + (-2)(2)
-5+6
$ + (-4)